四边形不等式 学习笔记

四边形不等式 学习笔记

定义

四边形不等式（QI）如果对于函数 $w(l,r)$，$l_1\le l_2\le r_1\le r_2,w(l_1,r_1)+w(l_2,r_2)\le w(l_1,r_2)+w(l_2,r_1)$，则称 $w$ 满足四边形不等式，函数 $w$ 的二维矩阵被称作蒙日矩阵。

一般只能用于求 $min$ 的DP。

石子合并模型

对于 DP 方程：

$$f_{l,r}=\underset{k\in [l,r-1]}{min}(f_{l,k}+f_{k+1,r})+w(l,r)$$

如果 $w$ 满足 QI 与 包含单调性（$[l,r]\subseteq [ll,rr],w(l,r)\le w(ll,rr)$），则 $f$ 满足 QI，且 $f$ 具有决策单调性，具体而言，设 $m(l,r)={\text{arcmin}}_k(f_{l,k}+f_{k+1,r})$，则有 $m(l,r-1)\le m(l,r)\le m(l+1,r)$，证明可以反证+放缩法。

利用决策单调性可以把这个 DP 在 $O(n^2)$ 的时间复杂度内计算出来，具体而言记录每个状态的最优决策点，转移上下界只需要枚举到上不等式即可，这样对于每一层 $m(l,r-1)\le m(l,r)\le m(l+1,r)\le m(l+1,r+1)\le m(l+2,r+1)$，所以对于相同长度的状态，他们这一层总共的枚举量是 $O(n)$ 的。

分 $k$ 组模型

对于 DP 方程：

$$f_{i,j}=\underset{k<i}{min}{f}_{k,j-1}+w(k,i)$$

如果 $w$ 满足 QI 和包含单调性，则 $f$ 具有决策单调性，$m(l,r-1)\le m(l,r)\le m(l+1,r)$。

运用决策单调性，可以用分治法在 $O(nk\log n)$ 的时间内解决这个问题。

使用同石子合并的技巧，可以在 $O(n^2)$ 的时间内解决这个问题。

1D-1D模型

对于 DP 方程：

$$f_i=\underset{j<i}{min}{f}_j+w(j,i)$$

如果 $w$ 满足QI，则对于 $a\le b,m(b)\ge m(a)$，证明依旧运用 QI + 放缩。

运用决策单调性，使用二分栈在 $O(n\log n)$ 的时间内解决这个问题，具体而言，对于每个决策点，考虑哪些状态以它为最优决策点，枚举决策点，维护每个状态当前的最优决策点，然后对于新来的决策点，以它为最优决策点的状态一定是一段后缀，二分出后缀开头即可。

存在 $O(n)$ 的算法，名字是 SMAWK。