KD-Tree 学习笔记
KD-Tree 学习笔记
建树
- 如果当前超长方体只有一个点,返回这个点
- 选择一个维度(轮流)
- 选择中位数(\(O(n)\))
- 递归
应用
- 定理
二维 KDT 中节点代表矩阵与任意一个矩形(边界上)有交的只有 \(O(\sqrt n)\) 个。
证明:
考虑一条直线,与KDT的交集,此层最多有两个,递归得到递归式,然后套主定理。
增删改查
- 查询
- 单点是否存在 \(O(\log n)\)
- 矩阵和:递归,只处理相交 \(O(\sqrt n)\)
剪枝:维护子树支撑矩形。
- 最近邻,\(k\) 近邻 最坏 \(O(n)\),可以用支撑矩形最优性剪枝。
- 修改
看做线段树,区间就打懒标记
- 插入
找到单点,然后切割喵 \(O(\log n)\)。
- 删除
为了维护树形,打删除懒标记,或者像 BST 一样,找到子树内里当前删除点最近的同维度的点,交换到叶子上面,然后删叶子。
- 重构
- 暴力
- 替罪羊重构,维护子节点占当前节点大小的比例,作为不平衡度,定义阈值重构。
- 根号重构,存储待插入的点,每 \(B\) 次插入重构,修改均摊 \(O(\dfrac nB \log n)\),查询均摊 \(O(B+\log n)\),最优 \(O(\sqrt{n\log n}\)。
- 二进制分组,分成 \(\text{popcount}(n)\) 组 KDT,每次插入合并,均摊 \(O(n\log^2n)\)。
KDT 本质上是维护一些偏序关系,一般我们用矩形去套点。