弦图 学习笔记

弦图 学习笔记

定义

弦图中任意 $k\ge 4$ 阶环都有弦，等价于对于任意导出子图都不是 $k\ge 4$ 阶环。

单纯点

单纯点的邻域是团。

完美消除序列（aka peo）

点的排列，使得 $\mathrm{\forall }i,v_i$ 在 $\{v_i,v_{i+1},...,v_n\}$ 的诱导子图中是单纯点。

点割集

$(u,v)$ 的点割集是点集，使得删除点割集之后的诱导子图中 $u,v$ 不连通。

性质

1. 弦图的诱导子图是弦图（Lemma 1）。
2. 弦图中 $(u,v)$ 的极小点割集 $A$ 是团（Lemma 2）。

证明：

设删去点割集之后 $u,v$ 所在连通块是 $V_1,V_2$。

观察：点割集中任意点与 $V_1,V_2$ 有连边（否则可以删去此点）。

对于点割集中任意两点 $x,y$，存在 $x_1,y_1\in V_1$ 且与 $x,y$ 相邻，同理 $x_2,y_2$。

则找到 $x_1\to y_1,y_2\to x_2$ 的最短路，此时形成环，若 $x,y$ 无边则不是弦图，得证。

3. 弦图有至少一个单纯点，且非完全图有至少 2 个不相邻单纯点（Lemma 3）。

证明：

归纳。

任取不相邻 $u,v$，由于对称，证明 $V_1$ 有一个单纯点即可。

如果 $V_1$ 是团，显然成立，否则根据归纳假设，$V_1\cup A$ 中有二不相邻单纯点，其中必有一个在 $V_1$ 中，证毕。

4. 图 $G$ 是弦图当且仅当 $G$ 拥有完美消除序列。

证明：必要性显然。

充分性：根据 Lemma 1,3，不断选取弦图中的单纯点即可。

求完美消除序列

1. LEX-BFS 算法

从后往前确定 peo，先随便选一个点作为 BFS 起点，然后每次选取一个点，使得它邻域中已确定 peo 的点的 peo 字典序最大。

需要用点集分裂的思想，维护链表套链表，可以做到 $O(n+m)$。

正确性证明：

如果对于 $i$ 的邻点 $i_1,i_2$ 他们的 peo 在 $i$ 后面，假设 $i_1,i_2$ 无边。

则一定存在 $i_3$ 使得与 $i_1$ 相邻而不与 $i$ 相邻，此时 $i_2,i_3$ 无边否则非弦图，则可以如此构造下去，peo是无限序列，假设不成立，得证。

2. MCS 算法

每次选取邻域被确定点最多的点。

可以简单地用优先队列带个 log 或用桶做到线性。

判定弦图

定义 $u$ 邻域为 peo 在 $u$ 后面且与 $u$ 相邻的点集。

求出完美消除序列，从后往前类似归纳地每次对于一个点 $u$，选择它最近的邻域点，判断此点邻域是否被 $N(u)$ 包含。

NP-Hard 问题在弦图上的解决

1. 最大团，$\omega (G)$
2. 色数，$\omega (G)\le X(G)$
3. 最大独立集，$\alpha (G)$
4. 最小团覆盖，$\alpha (G)\le K(G)$。

在弦图中这些不等式都取等号。

1. 色数

从后往前对peo贪心，每点颜色取邻域色 $\text{mex}$。

2. 最大独立集

从前往后对peo贪心，每次给邻域打标记。

5. 求所有极大团

观察：极大团是 $v\cup N(v)$ 形式的。

则考虑标记非极大团。

对于 $u$，定义 $C(u)=u\cup N(u)$，若 $\mathrm{\exists }v,v<u,C(v)\supseteq C(u)$，则 $u$ 非极大团。

等价于 $\mathrm{\exists }w,w<u,u=\text{arcmin}N(w),C(w)\supseteq C(u)$，则 $u$ 非极大团。

等价于 $\mathrm{\exists }w,w<u,u=\text{arcmin}N(w),|N(w)|=|N(u)|+1$，则 $u$ 非极大团。

根据以上引理可以得到求出所有极大团的线性算法，即从前往后扫，打标记。