数论结论 总结
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数论结论 总结
小结论
\(1\sim n\) 的因数总共有 \(O(n\log n)\) 个，调和级数证明。
\[\varphi(ij)\varphi(\gcd(i ,j)) = \varphi(i)\varphi(j)\gcd(i, j)
\]
\[d(ij) = \sum_{x | i}\sum_{y | j} [\gcd(x, y) = 1]\\
d(ijk) = \sum_{x | i}\sum_{y | j}\sum_{z | k} [\gcd(x, y) = 1][\gcd(y, z) = 1][\gcd(x, z) = 1]
\]
合理猜测更多乘积时也是有以上规律的。
\[\sum_{k = 1}^n[(k, n) = 1]\gcd(k-1, n) = d(n)\varphi(n)
\]
证明：
\[\begin{aligned} &\sum_{d|n, k|n}\varphi(d)\mu(k)\sum_{1\le i\le n}[i\equiv 1\pmod d][i\equiv 0\pmod k]\\ &由裴蜀定理，上同余关系组有解当且仅当(d, k) = 1\\ &此时解的循环节为dk，且 dk|n，得 \\ = &\ \sum_{d|n}\varphi(d)\sum_{k | n}\mu(k)\dfrac n{dk}[d\perp k]\\ = &\ \sum_{d|n}\varphi(d) \dfrac{n}{d}{\color{Red} \sum_{k | n,d\perp k}\mu(k)\dfrac 1{k}} \\ &由于莫比乌斯函数的性质，k无平方因子 \\ = & \ \sum_{d|n}\varphi(d) \dfrac{n}{d}{\color{Red} \prod_{p | n, p \nmid d}(1-\dfrac{1}{p})} \\ = & \ \sum_{d|n}\varphi(d) \dfrac{n}{d}{\color{Red} \dfrac{\prod_{p | n}(1-\dfrac{1}{p})}{\prod_{p | d}(1-\dfrac{1}{p})}} \\ = & \ \sum_{d|n}\varphi(d) \dfrac{\varphi(n)}{\varphi(d)} \\ = & \ d(n)\varphi(n) \end{aligned} \]
\[\gcd(ij, jk, ik) = \dfrac{\gcd(i, j)\gcd(j, k)\gcd(i, k)}{\gcd(i, j, k)}
\]
证明考虑算术基本定理分解
\[\text{lcm}(a_1, a_2, ..., a_n) = \prod_{s\subseteq \{1, 2, ..., n\}, s\ne \varnothing}(-1)^{|s| - 1}\gcd_{i\in s}(a_i)
\]
证明 min-max 容斥
\[\begin{aligned}
f(0) &= 0, f(1) = 1\\
f(i) &= f(i - 1) + f(i - 2)\\
f(\gcd(a, b)) &= \gcd(f(a), f(b))
\end{aligned}
\]
\[\mu(n)^2 = \sum_{d^2|n}\mu(d)
\]
素数定理
\(\le n\) 的质数个数有 \(\dfrac{n}{\ln n}\) 个左右。
Bertrand假设
\(\forall n\ge 1, \exists p\in[n, 2n]\)。
积性函数万能筛法
对于积性函数 \(f\)，考虑 \(f(p ^ k), p\in \text{Primes}\)，如果可以快速求出这个值，那么对于 \(1\sim n\) 的所有单点值都可以筛出来，因为可以考虑把 \(f(n)\) 拆分为 \(\prod f(p_i^{\alpha i})\) 的形式，只对最小的质因数处理即可。
推式子技巧
- 根号分治
对于形如：
\[\sum_{i = 1}^n S(n / i, i)
\]
的式子，可以考虑根号分治。
- 换元
对于形如：
\[\sum_{i = 1}^n f(i)\sum_{j = 1}^{\frac ni} g(\dfrac n{ij})
\]
的式子可以考虑换元 \(T = ij\)。
