数论结论 总结

数论结论 总结

小结论

\(1\sim n\) 的因数总共有 \(O(n\log n)\) 个,调和级数证明。

\[\varphi(ij)\varphi(\gcd(i ,j)) = \varphi(i)\varphi(j)\gcd(i, j) \]

\[d(ij) = \sum_{x | i}\sum_{y | j} [\gcd(x, y) = 1]\\ d(ijk) = \sum_{x | i}\sum_{y | j}\sum_{z | k} [\gcd(x, y) = 1][\gcd(y, z) = 1][\gcd(x, z) = 1] \]

合理猜测更多乘积时也是有以上规律的。

素数定理

\(\le n\) 的质数个数有 \(\dfrac{n}{\ln n}\) 个左右。

Bertrand假设

\(\forall n\ge 1, \exists p\in[n, 2n]\)

积性函数万能筛法

对于积性函数 \(f\),考虑 \(f(p ^ k), p\in \text{Primes}\),如果可以快速求出这个值,那么对于 \(1\sim n\) 的所有单点值都可以筛出来,因为可以考虑把 \(f(n)\) 拆分为 \(\prod f(p_i^{\alpha i})\) 的形式,只对最小的质因数处理即可。

推式子技巧

  1. 根号分治

对于形如:

\[\sum_{i = 1}^n S(n / i, i) \]

的式子,可以考虑根号分治。

  1. 换元

对于形如:

\[\sum_{i = 1}^n f(i)\sum_{j = 1}^{\frac ni} g(\dfrac n{ij}) \]

的式子可以考虑换元 \(T = ij\)

posted @ 2023-12-30 23:15  MoyouSayuki  阅读(28)  评论(0编辑  收藏  举报
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