P3893 [GDOI2014] Beyond 题解

P3893 [GDOI2014] Beyond 题解

思路

称第一个字符串为 $A$，第二个字符串 $B$。

考虑枚举环长 $L$，那么如果 $L$ 是可行的，当且仅当存在一个位置 $i$，使得 $A_{1\sim i}=B_{L-i+1,L},A_{i+1\sim L}=B_{1,L-i}$，也就是 $A_{1\sim L}$ 的一个前缀和 $B_{1\sim L}$ 的一个后缀匹配，且此处 $A_{1\sim L}$ 的后缀与 $B_{1\sim L}$ 的前缀匹配。

固定 $L$ 之后可以暴力去寻找 $i$，但是之后这个方向就很难突破了，所以考虑固定 $i$，寻找最长的 $L$，如果设 $j=L-i$，就转化为寻找最大合法的 $j$，发现这个形式很像 ExKMP，则如果求出了 $l=\text{LCP}(A_{1\sim i},B)$，那么对于所有 $j{\in }_{1,l}$，$A_{i+1,i+j}=B_{1\sim j}$，而对于更大的 $j$，都是不合法的。

但是当 $j=l$ 的时候，有可能没法满足第一个约束，即 $A_{1\sim i}=B_{j+1,i+j}$，所以朴素的做法是枚举所有的 $j$，然后判断 $\text{LCP}(B_{j+1,i+j},A)\ge i$，如果满足这个条件，就可以缩短最长公共前缀来找到一个刚好满足条件的位置。

为了优化做法，用式子表示出来：

$$\underset{i=1}{\overset{n}{max}}\underset{1\le j\le LCP(A_{1\sim i},B)\wedge LCP(B_{j+1,i+j},A)\ge i}{max}(i+j)$$

发现底下的式子是二维偏序，所以可以用树状数组解决这个问题。

具体而言，从大到小枚举 $i$，每次把所以满足 $\text{LCP}(B_{j+1,i+j},A)\ge i$ 的 $j$ 加入树状数组中，然后每次查询：

$$i+\underset{1\le j\le LCP(A_{1\sim i},B)}{max}j$$

这样就是前缀 $max$，也就可以用树状数组维护。

上述 $\text{LCP}$ 的值都可以通过 ExKMP 求得。

时间复杂度：$O(n\log n)$。

// Problem: P3893 [GDOI2014] Beyond
// Contest: Luogu
// Author: Moyou
// Copyright (c) 2023 Moyou All rights reserved.
// Date: 2023-12-21 23:25:40

#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 2e6 + 10, M = 2e6 + 10;

int n;
int z1[N], z2[N], exz1[N], exz2[N];
string a, b;
void Z(string s, int z[]) {
    z[1] = s.size();
    for(int i = 2, l = 0, r = 0; i < s.size(); i ++) {
        if(i <= r) z[i] = min(z[i - l + 1], r - i + 1);
        while(i + z[i] < s.size() && s[i + z[i]] == s[z[i] + 1]) z[i] ++;
        if(i + z[i] - 1 > r) l = i, r = i + z[i] - 1;
    }
}
void exkmp(string a, string b, int z[], int p[]) {
    Z(a, z);
    for(int i = 1, l = 0, r = 0; i < b.size(); i ++) {
        if(i <= r) p[i] = min(z[i - l + 1], r - i + 1);
        while(p[i] + 1 < a.size() && i + p[i] < b.size() && a[p[i] + 1] == b[i + p[i]]) p[i] ++;
        if(i + p[i] - 1 > r) l = i, r = i + p[i] - 1;
    }
}
struct BIT {
    int tr[N];
    void update(int i, int c)  { for (; i <= n; i += i & -i) tr[i] = max(c, tr[i]); }
    int query(int i)  { int res = -1e9; for (; i; i &= i - 1) res = max(res, tr[i]); return res; }
    void clear() {memset(tr, -0x3f, sizeof tr);}
} bit;
int h[N], ne[M], e[M], idx;
void add(int a, int b) {
	e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++; 
}
signed main() {
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> n >> a >> b;
    a = "$" + a, b = "$" + b;
    exkmp(a, b, z1, exz1);
    exkmp(b, a, z2, exz2);
    int ans = 0;
    memset(h, -1, sizeof h);
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        add(exz1[i + 1], i);
    bit.clear();
    for(int i = n; i; i --) {
        for(int j = h[i]; ~j; j = ne[j])
            bit.update(e[j], e[j]);
        ans = max(ans, i + bit.query(exz2[i + 1]));
    }
    cout << ans << '\n';

    return 0;
}