反演与容斥 学习笔记
反演与容斥 学习笔记
二项式反演
函数
证明:
考虑右式
当
证毕。
类似的,有推论:
推论 1
推论 2
证明类似。
广义容斥原理
现在有一些物品,每个物品有若干性质,把拥有第
则在这些物品种选取出若干物品,使得至少有
则有:
但是我们发现,对于一个拥有
设
根据二项式反演推论 1,我们立即得到:
这被称作广义容斥原理,容斥原理可以代入
欧拉函数
欧拉反演
证明:
考虑一组分数:
证毕。
莫比乌斯函数
莫比乌斯函数性质
证明:
考虑算术基本定理的形式:
所以得到:
所以在
证毕。
莫比乌斯反演
证明,大体思路与二项式反演相同,代入后化简:
证毕。
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