反演与容斥 学习笔记

反演与容斥 学习笔记

二项式反演

函数 $f,g$，有以下结论：

$$f_k=\sum _{i=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})g_i⟺g_k=\sum _{i=0}^k(-1{)}^{k-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})f_i$$

证明：

考虑右式

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=0}^k(-1{)}^{k-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})f_i\\ =& \sum _{i=0}^k(-1{)}^{k-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})g_j\\ =& \sum _{j=0}^k{g}_j\sum _{i=j}^k(-1{)}^{k-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})\\ =& \sum _{j=0}^k{g}_j\sum _{i=j}^k(-1{)}^{k-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-j}{i-j})\\ =& \sum _{j=0}^k{g}_j(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})\sum _{i=j}^k(-1{)}^{k-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-j}{i-j})\\ =& \sum _{j=0}^k{g}_j(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})\sum _{i=0}^{k-j}(-1{)}^{k-i-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-j}{i})\\ & \because (1-1{)}^k=\sum _{i=0}^k(-1{)}^{k-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})\\ =& \sum _{j=0}^k{g}_j(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})(1-1{)}^{k-j}\end{array}$$

当 $k\ne j$ 时，这一项是 $0$，当 $k=j$ 时，得到：

$$g_k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{k})=g_k$$

证毕。

类似的，有推论：

推论 1

$$f_k=\sum _{i=k}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k})g_i⟺g_k=\sum _{i=k}^n(-1{)}^{i-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k})f_i$$

推论 2

$$f_k=\sum _{i=0}^k(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})g_i⟺g_k=\sum _{i=0}^k(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})f_i$$

证明类似。

广义容斥原理

现在有一些物品，每个物品有若干性质，把拥有第 $i$ 个性质的物品的集合设为 $A_i$，一共有 $n$ 个性质，设全集为 $\mathrm{\Omega }$。

则在这些物品种选取出若干物品，使得至少有 $k$ 个不同性质的方案数为：${\alpha }_k$。

则有：

$${\alpha }_k=\sum _{T\subseteq \{1,2,...,n\},|T|=k}|\bigcap _{i\in T}{A}_i|$$

但是我们发现，对于一个拥有 $t$ 个性质的物品，它被 ${\alpha }_k$ 统计了 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{t}{k})$ 次。

设 ${\beta }_k$ 为恰好有 $k$ 个不同性质的方案数，因此有：

$$\begin{array}{rl}{\beta }_k& ={\alpha }_k-\sum _{i=k+1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k}){\beta }_i\\ {\alpha }_k& =\sum _{i=k}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k}){\beta }_i\end{array}$$

根据二项式反演推论 1，我们立即得到：

$${\beta }_k=\sum _{i=k}^n(-1{)}^{i-k}{\alpha }_i$$

这被称作广义容斥原理，容斥原理可以代入 $k=0$ 立即得到。

欧拉函数

欧拉反演

$$n=\sum _{d|n}\phi (d)$$

证明：

考虑一组分数： ${\displaystyle \frac{1}{n}},{\displaystyle \frac{2}{n}},{\displaystyle \frac{3}{n}},...,{\displaystyle \frac{n}{n}}$，化简分数之后得到一组形如：${\displaystyle \frac{a}{d}}$ 的最简分数，其中 $(a,d)=1$，所以对于一个固定的 $d$，一共有 $\phi (d)$ 个 $a$，又因为分数化简的性质，$d|n$，所以分数的个数就是 $\sum _{d|n}\phi (d)=n$。

证毕。

莫比乌斯函数

莫比乌斯函数性质

$$[n=1]=\sum _{d|n}\mu (d)$$

证明：

考虑算术基本定理的形式： $n=\prod p_i^{{\alpha }_i},m=\prod p_i$，因为莫比乌斯函数在有平方因子的时候是 $0$，所以上式可以等价地写成：

$$\sum _{d|m}\mu (d)$$

$m$ 的每个因子相当于在 $\{p_1,p_2,...,p_k\}$ 中任选几个数乘起来。

所以得到：

$$\sum _{d|m}\mu (d)=\sum _{i=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})(-1{)}^i=(1-1{)}^k$$

所以在 $k=0⟺n=1$ 时式子取 $1$，否则式子取 $0$。

证毕。

莫比乌斯反演

$$f(n)=\sum _{d|n}g(d)⟺g(n)=\sum _{d|n}\mu (d)f({\displaystyle \frac{n}{d}})$$

证明，大体思路与二项式反演相同，代入后化简：

$$\begin{array}{rl}& \sum _{d|n}\mu (d)f({\displaystyle \frac{n}{d}})\\ =& \sum _{d|n}\mu (d)\sum _{i|\frac{n}{d}}g(i)\\ =& \sum _{j|n}\mu (j)\sum _{i|\frac{n}{j}}g(i)\\ =& \sum _{i|n}g(i)\sum _{j|\frac{n}{i}}\mu (j)\\ =& \sum _{i|n}g(i)[\frac{n}{i}=1]\\ =& \sum _{i|n}g(i)[i=n]\\ =& g(n)\end{array}$$

证毕。

参考资料

1. 『容斥原理和广义容斥原理』 - Parsnip

2. 莫比乌斯反演 - OI wiki