P5629 【AFOI-19】区间与除法 题解

P5629 【AFOI-19】区间与除法 题解

由于题目中的运算是除法，所以对于一个数字 \(x\)，最多运算次数不会超过 \(\lceil\log_{d}x\rceil\) 就会变成 \(0\)。

然后我们就可以在 \(O(n\log C)\) 的时间复杂度内算出来每一个数字能被哪些原数消灭。

这样处理询问仍然棘手，接下来有一个性质：

如果原数 \(a\) 可以被操作为原数 \(b\)，那么所有能被 \(a\) 消灭的数字都可以被 \(b\) 消灭。

证明显然，如果数字 \(x\) 能被 \(a\) 消灭，那么它一定会在某一个时刻变成 \(a\)，而 \(a\) 可以被 \(b\) 消灭，所以 \(x\) 变成 \(a\) 后可以被 \(b\) 消灭。

所以可以把原数全部去重然后只保留不会被其它原数消灭的原数。

这样每一个序列中的数 \(a_i\) 最多对应一个原数可以把它消灭。

对于没法消灭的 \(a_i\) 不用管，询问就变成了区间不同数字的个数，由于 \(m\le 60\)，可以暴力枚举每一个原数判断是否存在于区间内，这个用前缀和实现即可。

时间复杂度：\(O(n\log C+nm+qm)\)。

// Problem: P5629 【AFOI-19】区间与除法
// Author: Moyou
// Copyright (c) 2023 Moyou All rights reserved.
// Date: 2023-08-28 09:58:44

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <unordered_map>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 5e5 + 10, M = 70;
int n, m, d, q, a[N], b[N], idx, temp[N], tot;
unsigned s[N][M];
unordered_map<int, bool> h;
int find(int x) {
    return lower_bound(b + 1, b + idx + 1, x) - b;
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> n >> m >> d >> q;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
    for(int i = 1; i <= m; i ++) cin >> b[i];
    sort(b + 1, b + m + 1);
    tot = unique(b + 1, b + m + 1) - b - 1;
    for(int i = 1; i <= tot; i ++) {
        int t = b[i];
        while(t) {
            if(h.count(t)) {
                b[i] = -1;
                break;
            }
            t /= d;
        }
        if(~b[i]) h[b[i]] = 1;
    }
    swap(temp, b);
    for(int i = 1; i <= tot; i ++)
        if(~temp[i]) b[++ idx] = temp[i];
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        int t = a[i];
        a[i] = -1;
        while(t) {
            if(h.count(t)) {
                a[i] = t;
                break;
            }
            t /= d;
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        memcpy(s[i], s[i - 1], sizeof s[i - 1]);
        if(~a[i]) s[i][find(a[i])] ++;
    }
    for(int i = 1, l, r, ans = 0; i <= q; i ++, ans = 0) {
        cin >> l >> r;
        for(int j = 1; j <= idx; j ++) 
            if(s[r][j] - s[l - 1][j]) ans ++;
        cout << ans << '\n';
    }
    return 0;
}