[ABC315G] Ai + Bj + Ck = X (1 <= i, j, k <= N) 题解

[ABC315G] Ai + Bj + Ck = X (1 <= i, j, k <= N) 题解

题目描述

求题目中式子的数量。

思路

因为 $N\le {10}^6$，所以考虑枚举 $k$，那么变为求 $ai+bj=x-ck,i,j\in [1,N]$，这个问题可以通过 Exgcd 算法求解。

首先考虑求出一组 $i,j$ 的特解 $x^{\prime },y^{\prime }$，根据通解 $x=x^{\prime }+tb,y=y^{\prime }-ta$ 可以得知，$x^{\prime }+tb\in [1,N],y^{\prime }-ta\in [1,N]$，解不等式之后得到下面的条件需要满足：

$$\begin{gathered} \lceil {\displaystyle \frac{1-x^{\prime }}{b}}\rceil \le t\le \lfloor {\displaystyle \frac{N-x^{\prime }}{b}}\rfloor \\ \lceil {\displaystyle \frac{y^{\prime }-N}{a}}\rceil \le t\le \lfloor {\displaystyle \frac{y^{\prime }-1}{a}}\rfloor \end{gathered}$$

因此 $t$ 最小可以取到：

$$max(\lceil {\displaystyle \frac{1-x^{\prime }}{b}}\rceil ,\lceil {\displaystyle \frac{y^{\prime }-N}{a}}\rceil )$$

$t$ 最大可以取到：

$$min(\lfloor {\displaystyle \frac{N-x^{\prime }}{b}}\rfloor ,\lfloor {\displaystyle \frac{y^{\prime }-1}{a}}\rfloor )$$

根据通解形式可以发现，$t$ 的取值是连续的。

所以这个 $k$ 对答案的贡献即为：

$$max(\lceil {\displaystyle \frac{1-x^{\prime }}{b}}\rceil ,\lceil {\displaystyle \frac{y^{\prime }-N}{a}}\rceil )-min(\lfloor {\displaystyle \frac{N-x^{\prime }}{b}}\rfloor ,\lfloor {\displaystyle \frac{y^{\prime }-1}{a}}\rfloor )$$

注意如果是是负数就跳过，要手写 $ceil(),floor()$，因为 c++ 默认向 $0$ 取整。

时间复杂度：$O(N+\log C)$。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cmath>
#define int __int128
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
typedef long long ll;

int n, a, b, c, X, ans;
int down(int a, int b) {
    if(a >= 0) return a / b;
    return -((-a + b - 1) / b);
}
int up(int a, int b) {
    if(a >= 0) return (a + b - 1) / b;
    return -((-a) / b);
}
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if(!b) return x = 1, y = 0, a;
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    return y -= a / b * x, d;
}
int x, y, d, aa, bb;
void work(int t) {
    if(t <= 0) return ;
    if(t % d) return ;
    int xx = t / d * x, yy = t / d * y;
    int l = max(up(1 - xx, bb), up(yy - n, aa));
    int r = min(down(n - xx, bb), down(yy - 1, aa));
    if(l > r) return ;
    ans += r - l + 1;
}
inline int read() {
    int x = 0;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') ch = getchar();
    while (ch <= '9' && ch >= '0') x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48), ch = getchar();
    return x;
}
void write(int x) {
    if(x == 0) return ;
    if(x > 0) write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    n = read(), a = read(), b = read(), c = read(), X = read();
    d = exgcd(a, b, x, y);
    aa = a / d, bb = b / d;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) work(X - c * i);
    if(ans == 0) cout << 0 << '\n';
    else write(ans);
    return 0;
}