AGC006F Blackout 题解

AGC006F Blackout

如果一个格子 $(x,y)$ 是黑色的，那么构建边 $x\to y$，接下来对于每个弱连通块分类讨论：

1. 图中有自环 则弱连通块必然形成一个完全图

证明：

从自环开始归纳，将自环视为一个点数为 $1$ 的完全图，接下来扩展完全图时，分类讨论：

1. 从完全图中一个点 $u$，存在边 $u\to v$，则根据拓展条件可知，会存在边 $v\to u,v\to v$，对于完全图中除了 $u$ 任意一点 $w$，其与 $u$ 一定有双向的有向边链接则存在边 $w\to v$，于是如上所述，一定有 $v\to w$，所以 $v$ 被加入后原图依然是完全图。
2. 从完全图中一个点 $u$，存在边 $v\to u$，与第一类情况类似，可以证明原图依然是完全图。

得证。

2. 图中有包含两个点的环 则弱连通块必然形成一个完全图

证明：

如果 $u\to v,v\to u$，则有 $u\to u,v\to v$，则弱连通块中有自环，则弱连通块必然形成一个完全图。

3. 图中最多只有包含两个点的路径 则弱连通块必然无法拓展，证明显然

4. 图中只有包含三个及以上个点的路径，进行三染色：

   1. 如果三染色成功

   则图中会分为三个颜色块，定义同一个颜色块里的点颜色相同，颜色块内部无边，颜色块之间互相连边。

   先证明第一个命题：

   证明：

   假设颜色块内部有边，那么三染色会失败，与三染色成功的条件矛盾，则颜色块内部无边，得证。

   接下来证明第二个命题：

   证明：

   如果能成功三染色，那么图中一定存在一个长度为 $3$ 的链，假设是 $u\to v\to w$，那么一定有 $w\to u$，考虑归纳法：

   如果当前新加入一个边 $u\to v^{\prime }$，（$v,w$ 的情况对称，不作讨论 ），因为三染色成功，所以 $v^{\prime }$ 的颜色和 $v$ 相同，属于同一个颜色块，由 $w\to u,u\to v^{\prime }$ ，一定有 $v^{\prime }\to w$，依然符合原命题，$v^{\prime }\to u$ 的情况同理，归纳成立。

   2. 如果三染色失败

   那么原图必然成为一个完全图，分类讨论可以证明。

// Problem: [AGC006F] Blackout
// Author: Moyou
// Copyright (c) 2023 Moyou All rights reserved.
// Date: 2023-07-22 14:58:28

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;

int n, m;
int col[N], cnt[3], ecnt;
vector<int> g[N], ig[N];

bool flg = 0;
void dfs(int u, int c) // 三染色
{
    if(~col[u]) return (void)(flg |= (col[u] != c));
    col[u] = c;
    cnt[c] ++;
    for(auto v : g[u])
        dfs(v, (c + 1) % 3), ecnt += (u < v);
    for(auto v : ig[u])
        dfs(v, (c + 2) % 3), ecnt += (u < v);
}

bool st[N];

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    memset(col, -1, sizeof col);
    for(int i = 1 ,a, b; i <= m; i ++)
        cin >> a >> b, g[a].push_back(b), ig[b].push_back(a);
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        if(~col[i]) continue;
        cnt[0] = cnt[1] = cnt[2] = 0, flg = 0, ecnt = 0;
        dfs(i, 0);
        if(flg) ans += (cnt[0] + cnt[1] + cnt[2]) * (cnt[0] + cnt[1] + cnt[2]); // 三染色失败，有自环，则必为完全图
        else if(cnt[0] && cnt[1] && cnt[2]) ans += cnt[0] * cnt[1] + cnt[1] * cnt[2] + cnt[0] * cnt[2]; // 三染色成功，三种颜色之间各有一条边
        else ans += ecnt;  // 染色未果，没有可拓展边
    }
    cout << ans << '\n';

    return 0;
}