AGC006F Blackout 题解

AGC006F Blackout

如果一个格子 \((x, y)\) 是黑色的，那么构建边 \(x\rightarrow y\)，接下来对于每个弱连通块分类讨论：

1. 图中有自环 则弱连通块必然形成一个完全图

证明：

从自环开始归纳，将自环视为一个点数为 \(1\) 的完全图，接下来扩展完全图时，分类讨论：

1. 从完全图中一个点 \(u\)，存在边 \(u\rightarrow v\)，则根据拓展条件可知，会存在边 \(v\rightarrow u, v\rightarrow v\)，对于完全图中除了 \(u\) 任意一点 \(w\)，其与 \(u\) 一定有双向的有向边链接则存在边 \(w\rightarrow v\)，于是如上所述，一定有 \(v\rightarrow w\)，所以 \(v\) 被加入后原图依然是完全图。
2. 从完全图中一个点 \(u\)，存在边 \(v\rightarrow u\)，与第一类情况类似，可以证明原图依然是完全图。

得证。

2. 图中有包含两个点的环 则弱连通块必然形成一个完全图

证明：

如果 \(u\rightarrow v, v\rightarrow u\)，则有 \(u\rightarrow u, v\rightarrow v\)，则弱连通块中有自环，则弱连通块必然形成一个完全图。

3. 图中最多只有包含两个点的路径 则弱连通块必然无法拓展，证明显然

4. 图中只有包含三个及以上个点的路径，进行三染色：

   1. 如果三染色成功

   则图中会分为三个颜色块，定义同一个颜色块里的点颜色相同，颜色块内部无边，颜色块之间互相连边。

   先证明第一个命题：

   证明：

   假设颜色块内部有边，那么三染色会失败，与三染色成功的条件矛盾，则颜色块内部无边，得证。

   接下来证明第二个命题：

   证明：

   如果能成功三染色，那么图中一定存在一个长度为 \(3\) 的链，假设是 \(u\rightarrow v\rightarrow w\)，那么一定有 \(w\rightarrow u\)，考虑归纳法：

   如果当前新加入一个边 \(u\rightarrow v'\)，（\(v, w\) 的情况对称，不作讨论 ），因为三染色成功，所以 \(v'\) 的颜色和 \(v\) 相同，属于同一个颜色块，由 \(w\rightarrow u, u\rightarrow v'\) ，一定有 \(v'\rightarrow w\)，依然符合原命题，\(v'\rightarrow u\) 的情况同理，归纳成立。

   2. 如果三染色失败

   那么原图必然成为一个完全图，分类讨论可以证明。

// Problem: [AGC006F] Blackout
// Author: Moyou
// Copyright (c) 2023 Moyou All rights reserved.
// Date: 2023-07-22 14:58:28

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;

int n, m;
int col[N], cnt[3], ecnt;
vector<int> g[N], ig[N];

bool flg = 0;
void dfs(int u, int c) // 三染色
{
    if(~col[u]) return (void)(flg |= (col[u] != c));
    col[u] = c;
    cnt[c] ++;
    for(auto v : g[u])
        dfs(v, (c + 1) % 3), ecnt += (u < v);
    for(auto v : ig[u])
        dfs(v, (c + 2) % 3), ecnt += (u < v);
}

bool st[N];

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    memset(col, -1, sizeof col);
    for(int i = 1 ,a, b; i <= m; i ++)
        cin >> a >> b, g[a].push_back(b), ig[b].push_back(a);
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        if(~col[i]) continue;
        cnt[0] = cnt[1] = cnt[2] = 0, flg = 0, ecnt = 0;
        dfs(i, 0);
        if(flg) ans += (cnt[0] + cnt[1] + cnt[2]) * (cnt[0] + cnt[1] + cnt[2]); // 三染色失败，有自环，则必为完全图
        else if(cnt[0] && cnt[1] && cnt[2]) ans += cnt[0] * cnt[1] + cnt[1] * cnt[2] + cnt[0] * cnt[2]; // 三染色成功，三种颜色之间各有一条边
        else ans += ecnt;  // 染色未果，没有可拓展边
    }
    cout << ans << '\n';

    return 0;
}