P1306 斐波那契公约数 题解

请求出 \(f_n\) 与 \(f_m\) 的最大公约数，即 \(\gcd(f_n, f_m)\)，答案对 \(10^8\) 取模。

结论：\(\gcd(f_n, f_m) = f_{\gcd(n, m)}\)

证明如下：

首先引理 1：

\[f_{n + m} = f_{n - 1} \times f_{m} + f_{n}\times f_{m + 1} \]

运用归纳法，可以简单证明，此处略去。

引理 2：

\[\gcd(f_n, f_{n + 1}) = 1\\ \]

运用归纳法：

\(\gcd(f_1, f_{2}) = 1\) 平凡成立。

设现已有 \(\gcd(f_{n - 1}, f_n) = 1\)，则

\(\gcd(f_n, f_{n + 1}) =\gcd(f_n, f_{n - 1} + f_n) = \gcd(f_{n - 1}, f_n) = 1\)

证毕。

\[\begin{aligned} 由引理 1知，f_{m} =& f_{n - m - 1} f_{n} + f_{n - m} f_{n + 1}\\ \therefore \gcd(f_n, f_m) = &\gcd(f_n, f_{n - m - 1} f_{n} + f_{n - m} f_{n + 1})\\ \because f_n | f_{n - m - 1} f_{n}\\ \therefore \gcd(f_n, f_m) = &\gcd(f_n, f_{n - m} f_{n + 1})\\ 由引理 2知，\gcd(f_n, f_{n + 1}) = 1\\ \therefore\gcd(f_n, f_m) = &\gcd(f_n, f_{n - m})\\ \gcd(f_n, f_m) = &\gcd(f_{n - m}, f_n)\\ \therefore \gcd(f_n, f_m) = &\gcd(f_{n\ \bmod\ m}, f_n)\\ 如此递归，最后结果为 \gcd(f_n, f_m) = &\gcd(f_{\gcd(n, m)}, 0) = f_{\gcd(n, m)}\\ 此处可类比欧几里得算法 \end{aligned} \]

最后用矩阵算 \(f_{\gcd(n, m)}\) 即可。

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define speedup (ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0))
#define int long long
using namespace std;

const int mod = 1e8;

struct Mat
{
    int m[5][5];
    int r, c;
    void clear(int R, int C)
    {
        memset(m, 0, sizeof m);
        r = R, c = C;
    }
    void init()
    {
        for (int i = 0; i <= min(r, c); i++)
            m[i][i] = 1;
    }
    friend Mat operator*(const Mat a, const Mat b)
    {
        Mat res;
        res.clear(a.r, b.c);
        for (int i = 1; i <= a.r; i++)
            for (int j = 1; j <= b.c; j++)
                for (int k = 1; k <= a.c; k++)
                    res.m[i][j] = (res.m[i][j] + a.m[i][k] * b.m[k][j] % mod) % mod;
        return res;
    }
} M, A;

Mat qmi(Mat a, int b)
{
    Mat res;
    res.clear(3, 3), res.init();
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            res = res * a;
        b >>= 1;
        a = a * a;
    }
    return res;
}

signed main()
{
    speedup;
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    M.clear(2, 2);
    M.m[1][2] = M.m[2][1] = M.m[2][2] = 1;
    A.clear(2, 1);
    A.m[2][1] = 1;
    A = qmi(M, __gcd(n, m) - 1) * A;
    cout << A.m[2][1] << '\n';

    return 0;
}