P1306 斐波那契公约数 题解

请求出 $f_n$ 与 $f_m$ 的最大公约数，即 $gcd(f_n,f_m)$，答案对 ${10}^8$ 取模。

结论：$gcd(f_n,f_m)=f_{gcd(n,m)}$

证明如下：

首先引理 1：

$$f_{n+m}=f_{n-1}\times f_m+f_n\times f_{m+1}$$

运用归纳法，可以简单证明，此处略去。

引理 2：

$$gcd(f_n,f_{n+1})=1$$

运用归纳法：

$gcd(f_1,f_2)=1$ 平凡成立。

设现已有 $gcd(f_{n-1},f_n)=1$，则

$gcd(f_n,f_{n+1})=gcd(f_n,f_{n-1}+f_n)=gcd(f_{n-1},f_n)=1$

证毕。

$$\begin{array}{rl}\mathrm{由}\mathrm{引}\mathrm{理}1\mathrm{知}，f_m=& f_{n-m-1}{f}_n+f_{n-m}{f}_{n+1}\\ \therefore gcd(f_n,f_m)=& gcd(f_n,f_{n-m-1}{f}_n+f_{n-m}{f}_{n+1})\\ \because f_n|f_{n-m-1}{f}_n\\ \therefore gcd(f_n,f_m)=& gcd(f_n,f_{n-m}{f}_{n+1})\\ \mathrm{由}\mathrm{引}\mathrm{理}2\mathrm{知}，gcd(f_n,f_{n+1})=1\\ \therefore gcd(f_n,f_m)=& gcd(f_n,f_{n-m})\\ gcd(f_n,f_m)=& gcd(f_{n-m},f_n)\\ \therefore gcd(f_n,f_m)=& gcd(f_{nmodm},f_n)\\ \mathrm{如}\mathrm{此}\mathrm{递}\mathrm{归}，\mathrm{最}\mathrm{后}\mathrm{结}\mathrm{果}\mathrm{为}gcd(f_n,f_m)=& gcd(f_{gcd(n,m)},0)=f_{gcd(n,m)}\\ \mathrm{此}\mathrm{处}\mathrm{可}\mathrm{类}\mathrm{比}\mathrm{欧}\mathrm{几}\mathrm{里}\mathrm{得}\mathrm{算}\mathrm{法}\end{array}$$

最后用矩阵算 $f_{gcd(n,m)}$ 即可。

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define speedup (ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0))
#define int long long
using namespace std;

const int mod = 1e8;

struct Mat
{
    int m[5][5];
    int r, c;
    void clear(int R, int C)
    {
        memset(m, 0, sizeof m);
        r = R, c = C;
    }
    void init()
    {
        for (int i = 0; i <= min(r, c); i++)
            m[i][i] = 1;
    }
    friend Mat operator*(const Mat a, const Mat b)
    {
        Mat res;
        res.clear(a.r, b.c);
        for (int i = 1; i <= a.r; i++)
            for (int j = 1; j <= b.c; j++)
                for (int k = 1; k <= a.c; k++)
                    res.m[i][j] = (res.m[i][j] + a.m[i][k] * b.m[k][j] % mod) % mod;
        return res;
    }
} M, A;

Mat qmi(Mat a, int b)
{
    Mat res;
    res.clear(3, 3), res.init();
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            res = res * a;
        b >>= 1;
        a = a * a;
    }
    return res;
}

signed main()
{
    speedup;
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    M.clear(2, 2);
    M.m[1][2] = M.m[2][1] = M.m[2][2] = 1;
    A.clear(2, 1);
    A.m[2][1] = 1;
    A = qmi(M, __gcd(n, m) - 1) * A;
    cout << A.m[2][1] << '\n';

    return 0;
}