[USACO17JAN]Promotion Counting P 题解

[USACO17JAN]Promotion Counting P 题解

题目描述

给你一棵树，每个点有一个点权 \(p_i\)，求 \(\forall i\)，\(i\) 的子树内点权比 \(i\) 的点权大的点的数量。

思路

看到子树我就忍不住了，不得不狠狠地吧树拍到 \(dfn\) 序上了，发现用 \(dfn\) 拍扁之后，变成了求区间小于 \(x\) 元素个数的统计问题，分块可做。

另一个更优秀的离线做法是：

用树状数组维护点对答案的贡献，初始时所有点的树状数组设为 \(0\)。

1. 按点权从大到小的顺序选取所有点
2. 统计这个点子树内的所有贡献和（子树和）
3. 在树状数组中给这个点的贡献设为 \(1\)。

正确性证明：

题目中的约束有二。

• 合法的点应在 \(i\) 的子树内；
• 合法的点的点权应大于 \(i\)。

我们从大到小地选取点保证了第二个约束，也就是所有点权大于 \(i\) 的点所给的贡献都被考虑到了。

那么处理第一个约束只需要用树状数组维护 \(dfn\) 就可以了。

时间复杂度：\(O(n\log n)\)

// Problem: P3605 [USACO17JAN]Promotion Counting P
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P3605
// Author: Moyou
// Copyright (c) 2023 Moyou All rights reserved.
// Date: 2023-04-23 22:49:40

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
#define speedup (ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0))
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

struct node
{
    int id, w;
} a[N];

vector<int> g[N];

int dfn[N], idx, sz[N];

void dfs(int u)
{
    dfn[u] = ++ idx;
    sz[u] = 1;
    for(auto v : g[u])
        dfs(v), sz[u] += sz[v];
}

int n;

struct BIT
{
    int tr[N];
    inline int lowbit(int x) { return x & -x; }

    inline void update(int i, int c) // 位置x加c
    {
        for (; i <= n; i += lowbit(i))
            tr[i] += c;
    }

    inline int query(int i) // 返回前x个数的和
    {
        int res = 0;
        for (; i; i &= i - 1) // 等价于i -= lowbit(i)
            res += tr[i];
        return res;
    }
} bit;

int ans[N];

signed main()
{
    n = read();
    for(int i = 1; i <= n; i ++)    
        a[i].w = read(), a[i].id = i;
        
    for(int i = 2, a; i <= n ; i ++)
        a = read(), g[a].push_back(i);
        
    sort(a + 1, a + n + 1, [](node a, node b){return a.w > b.w; });
    
    dfs(1);
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        int id = a[i].id;
        ans[id] = bit.query(dfn[id] + sz[id] - 1) - bit.query(dfn[id] - 1);
        bit.update(dfn[id], 1);
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        write(ans[i]), putchar('\n');
        
    return 0;
}

为了简约美观，我把快读快写都去掉了。