[ABC282D] Make Bipartite 2 题解

题目描述

给定一个无向简单图 $G$，统计有多少个点对 $(u,v)$ 满足：

• $u,v$ 之间没有边直接连接：$(u,v)\notin \text{E}$
• 连接 $(u,v)$ 后 $G$ 是 二分图

一个无向图被称为二分图，当且仅当可以将每个顶点涂成黑色或白色且满足以下条件：

• 没有边连接以相同颜色的顶点。

思路

什么时候 D题 也开始考图论了

不妨先对原图进行染色

bool dfs(int p, int c)
{
    color[p] = c;
    for (auto i : g[p]) // vector存图
    {
        if (!color[i])
            if (!dfs(i, 3 - c))
                return 0;
        else if (color[i] == c)
            return 0;
    }
    return 1;
}

假如我们得到了这样的图（样例1）：

此时有两种情况：

1. 原图不是二分图，输出 0；
2. 如果要进行连边，为了保持原图二分图的特性，只能连接异色两点。

于是答案就是：异色点对的数量

所以我们只需要统计有多少两个异色点就可以了——

---

$\mathrm{吗}！？$

如果你这么想就太天真了，看下面这个 $\mathtt{\text{hack}}$：

10 1
1 2

此时你不知道那些孤立的点该如何染色，如果随便染一个颜色的话会漏情况。

如何解决？？

反向考虑问题：

最终答案 = 所有情况 - 不可能情况

1. 所有情况：${\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}-m$，所有可能的连边减去已经连上的边。
2. 不可能情况：${\displaystyle \frac{cn{t}_1(cn{t}_1-1)}{2}}+{\displaystyle \frac{cn{t}_2(cn{t}_2-1)}{2}}$ 两种颜色集合内部连边

这样就自动计算了那些漏掉的情况

码来！

// Problem: D - Make Bipartite 2
// Contest: AtCoder - HHKB Programming Contest 2022 Winter(AtCoder Beginner Contest 282)
// URL: https://atcoder.jp/contests/abc282/tasks/abc282_d
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 2000 ms
// Author: Moyou
// Copyright (c) 2022 Moyou All rights reserved.
// Date: 2022-12-17 20:28:38

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define int long long
using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

vector<int> g[N];

int color[N];
int cnt1, cnt2, ans;
bool flg = 1;

bool dfs(int p, int c) // 染色法
{
    color[p] = c;
    if (c == 1)
        cnt1++; // 统计黑白色点的个数
    else
        cnt2++;
    for (auto i : g[p])
        if (!color[i] && !dfs(i, 3 - c) || color[i] == c)
            return 0;
    return 1;
}

signed main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        g[a].push_back(b);
        g[b].push_back(a);
    }

    ans = n * (n - 1) / 2 - m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (color[i] == 0) // 如果未染色，表明这是一个新连通块
        {
            cnt1 = cnt2 = 0;  // 记得重置
            flg &= dfs(i, 1); // 为什么是 &= ?
            // 只要有一个连通块不是二分图，全图就不是二分图
            ans -= (cnt1 - 1) * cnt1 / 2 + (cnt2 - 1) * cnt2 / 2;
        }
    }
    if (!flg)
        puts("0");
    else
        cout << ans << endl;

    return 0;
}