树状数组 - 高级数据结构

引入

数列操作
本题是 树状数组模板题，这个算法最大的优点是查询速度很快

col1	修改（add）	求和查询（query）	构造（init）
树状数组	$O(\log n)$	$O(\log n)$	$O(n)//\mathrm{读}\mathrm{入}\mathrm{数}\mathrm{据}$
数组	$O(1)$	$O(n)$	$O(n\log n)//n\mathrm{次}\mathrm{修}\mathrm{改}$

所以树状数组适合数据范围大，查询次数多的时候使用

实现

lowbit()

见多识广的同学都知道这个函数，它的目的是求出一个数二进制中最低位的1的位置，并将位置转化成十进制

举个例子：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& lowbit(22{)}_{10}& =lowbit(10110{)}_2\text{(2)}& & =(10{)}_2\text{(3)}& & =2\end{array}$$

如何实现lowbit()呢？

$$\begin{gathered} \mathrm{首}\mathrm{先}，\mathrm{将}\mathrm{原}\mathrm{数}\mathrm{取}\mathrm{反}： \\ 10110=01001 \\ \mathrm{再}\mathrm{加}\mathrm{一}： \\ 01001+1=01010 \\ \mathrm{将}\mathrm{新}\mathrm{数}\mathrm{与}\mathrm{原}\mathrm{数}\mathrm{进}\mathrm{行}\mathrm{与}\mathrm{运}\mathrm{算}（\mathrm{\&}） \\ \begin{array}{r}01010\\ \mathrm{\&}10110\\ ————\\ 00010\\ \mathrm{也}\mathrm{就}\mathrm{是}2\end{array} \end{gathered}$$

众所周知，补码本质就是原码的反码加一

于是我们可以简化代码：

int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}

树状数组

结构：树

树状数组其实是前缀和的变形，或者说，前缀和本身就是没有修改操作的树状数组。

聪明绝顶（物理）的科学家发现C数组（存树）的二进制下标对应了它所涵盖的数的数量，得出公式：

$$C[i]\mathrm{涵}\mathrm{盖}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{数}\mathrm{量}=lowbit(i)$$

根据一根头发的观察发现，要找到一个点的父亲，我们需要将此点的二进制下标加上$lowbit(\mathrm{下}\mathrm{标})$
即

$$fathe{r}_{C[i]}=i+lowbit(i)$$

举个栗子：

$$\begin{gathered} \because 3=(011{)}_2 \\ \therefore \{\begin{array}{rl}fathe{r}_3& =lowbit(011)+(011{)}_2\\ & =(1+011{)}_2\\ & =(100{)}_2\\ & =4\end{array} \\ \therefore fathe{r}_3=4 \end{gathered}$$

我们前面说过，树状数组支持两种操作（修改和求和），下方展开说明

修改

结合以上知识，我们直接从$i$开始循环找到它的每个父辈，加上要修改的值即可

void add(int a, int b)
{
    for(; a <= n; a += lowbit(a))
        tree[a] += b;
}

查询求和

大概意思是将$C[i]$分割成小的儿子节点

我也不知道怎么解释，看动图吧

LL query(int a)
{
    LL sum = 0;
    while(a >= 1)
    {
        sum += tree[a]; // 求和
        a -= lowbit(a); // 分割
    }
    return sum;
}

构造

遍历整个待构造的数组，把每个点都加入树状数组即可

void init()
{
    for(int i = 1; i <= n; i++) // 遍历
    {
        LL a;
        cin >> a;
        add(i, a); // 加入树状数组
    }
}

对了，记得开long long

Talk is cheap, show me the code!

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;

int n, m;
LL tree[1000010];

inline LL read() // 快读，不然不保证能稳定过
{
    LL s = 0, f = 1;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') {
        if (ch == '-') f = -1;
        ch = getchar();   
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9') s = s * 10 + ch - '0', ch = getchar();
    return f * s;
}

int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}
LL query(int a) // 查询求和
{
    LL sum = 0;
    while(a >= 1)
    {
        sum += tree[a];
        a -= lowbit(a);
    }
    return sum;
}

void add(int a, int b) // 加入树状数组
{
    for(; a <= n; a += lowbit(a))
        tree[a] += b;
}

void init()
{
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        LL a;
        cin >> a;
        add(i, a);
    }
}

int main()
{
    n = read();
    m = read();
    init();
  
    for(int i = 1; i <= m; i ++)
    {
        int op;
        op = read();
        LL a, b;
        a = read(), b = read(); // 读入
        if(op == 1) // 哪个操作呢
            add(a, b); // 加边加边加边
        else
            printf("%lld\n", query(b) - query(a - 1));  // 1~b的区间和 - 1~a-1的区间和即为 a~b的区间和
// 然后并查集查询（大雾）
    }
    return 0;
}

蒟蒻的题解难免有误，恳请dalao指出！