线性同余方程

线性同余方程

已知\(a,b,m\)求\(x\)

\[ax \equiv b\pmod m \]

想法

变形同余方程，用扩展欧几里得算法求解

\[ax \equiv b\pmod m \]

\[a· x = m· y+ b \]

\[ax - my = b \]

设\(y'=y\)

\[ax + my'=b \]

套入扩展欧几里得算法求解即可得出答案

代码

#include <iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;

int Extended_Euclidean(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(!b)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    
    int d = Extended_Euclidean(b, a % b, y, x);
    
    y = y - a / b * x;
    return d;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    
    while(n--)
    {
        int a, b, m;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &m);
        int x, y;
        
        int d = Extended_Euclidean(a, m, x, y);
        if(b % d) puts("impossible"); // 若b不是gcd的倍数则无解
        
        else printf("%d\n", (LL)x * b / d % m); // 不写(LL)爆int
    }
    return 0;
}