扩展欧几里得算法exgcd基本运用 与 exgcd求逆元

基础用法

给定 $n$ 对正整数 $a_i,b_i$，对于每对数，求出一组 $x_i,y_i$，使其满足 $a_i\times x_i+b_i\times y_i=gcd(a_i,b_i)$。

裴蜀定理

对于任意正整数$a,b$，那么一定存在非零整数$x,y$使得$ax+by=gcd(a,b)$

假设$ax+by=d$，那么$d$一定要是$gcd(a,b)$的倍数

显然，$a,b,ax,by,ax+by$都是$gcd(a,b)$的倍数，因此$d=ax+by$是$gcd(a,b)$的倍数

因此$d$最小是一倍的$gcd(a,b)$，也就是$d=gcd(a,b)$

所以这个方程$ax+by=d$最小的解便是$gcd(a,b)$

因此题中的方程一定有解

这个解就由扩展欧几里得算法解出

想法

先回顾欧几里得算法：

if(!b)
{
    return a;
}
return gcd(b, a % b);

$1.$ 先看if(!b)的情况，当$b=0$时，$gcd(a,b)=gcd(a,0)=a$

代入原式中，$a\times x+0\times y=a$

解得$x=1,y=0$

$2.$ if(b)时，用int d记录exgcd(b, a % b, y, x)

由于此处颠倒了$a,b$的顺序，因此传入$x,y$时也要颠倒

$$\mathrm{原}\mathrm{式}=by+(a\mathrm{\%}b)x=d$$

此处$a\mathrm{\%}b=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b$

由于$a÷b=\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \dots a$

所以$a\mathrm{\%}b=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b$

因此

$$by+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b)x=d$$

把$x$乘进去，得：

$$ax+b(y-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor x)=d$$

码来！

#include <iostream>
using namespace std;

int Extended_Euclidean(int a, int b, int &x, int &y) // 记得加引用
{
    if(!b)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    
    int d = Extended_Euclidean(b, a % b, y, x); // 颠倒
    
    y = y - a / b * x; // 套公式
    return d; // 返回gcd(a, b)
}

int main()
{
    int n;
    int a, b, x, y;
    scanf("%d", &n);
    while (n -- )
    {
        scanf("%d%d", &a, &b);
        
        Extended_Euclidean(a, b, x, y); // 算法写全名会不会霸气一点 []~(￣▽￣)~*
        
        printf("%d %d\n", x, y);
    }
    return 0;
}

扩展欧几里得算法求逆元

我们已知当$p$是质数的时候，可以用快速幂算法求逆元

详见这篇博客

那么，当$p$不是质数的时候，用什么呢？

答案是：扩展欧几里得算法

$a$有逆元的充分必要条件是$a$与$p$互质，因此$gcd(a,p)=1$
所以设逆元为$x$，则$a\ast x\equiv 1modp$
则$ax+py=1$
那么exgcd(a, p, x, y)就能算出来

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) // 记得加引用
{
    if(!b)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }

    int d = exgcd(b, a % b, y, x); // 颠倒

    y = y - a / b * x; // 套公式
    return d; // 返回gcd(a, b)
}
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while(n--)
    {
        int x, y, a, p;
        cin >> a >> p;
        int d = exgcd(a, p, x, y);
        if(d == 1) // 有解
        {
            cout << ((LL)x + p) % p << endl; // 保证正数
        }
        else puts("impossible");
    }
    return 0;
}

感谢观看~