快速幂求逆元

给定 $n$ 组 $a_{i}, p_{i}$ ，其中 $p_{i}$ 是质数，求 $a_{i}$ 模 $p_{i}$ 的乘法逆元，若逆元不存在则输出 impossible。

注意：请返回在 $0 \sim p - 1$ 之间的逆元。

乘法逆元的定义

若整数 $b ， m$ 互质，并且对于任意的整数 $a$ ，如果满足 $b | a$ ，则存在一个整数 $x$ ，使得 $a / b \equiv a \times x (\mod m)$ ，则称 $x$ 为 $b$ 的模 $m$ 乘法逆元，记为 $ b^{-1} \pmod m $。$ b $存在乘法逆元的充要条件是$ b $与模数$ m $互质。当模数$ m $为质数时，$ b^{m-2} $即为$ b $ 的乘法逆元。

想法

题目中说了 $p_{i}$ 是质数
可以通过快速幂算出来逆元

思路

$b$ 存在乘法逆元的充要条件是 $b$ 与模数 $m$ 互质。当模数 $m$ 为质数时， $b^{m - 2}$ 即为 $b$ 的乘法逆元。

证明：

$a / b \equiv a \times x (\mod m)$
$a / b \equiv a \times b^{- 1} (\mod m)$
$\frac{1}{b} \equiv b^{- 1} (\mod m)$
$1 \equiv b^{- 1} \times b (\mod m)$
$b^{- 1} \times b \equiv 1 (\mod m)$
根据费马小定理

$如果 p 是一个质数，而整数 a 不是 p 的倍数，则有 a^{p - 1} \equiv 1 (\mod p)$

故 $b^{m - 1} \equiv 1 (\mod m)$

$b \times b^{m - 2} \equiv 1 (\mod m)$
$b \times b^{m - 2} \equiv b^{- 1} \times b \equiv 1 (\mod m)$
$b \times b^{m - 2} = b^{- 1} \times b$
$b^{- 1} = b^{m - 2}$
$x = b^{m - 2}$

所以

当 $b$ 与 $m$ 互质的时候，逆元为 $b^{m - 2}$

当 $b$ 与 $m$ 不互质（即 $b$ 为 $m$ 的倍数）的时候，逆元不存在

$b \times x % m = 0$

$x$ 无论多少 $b$ 都有因数 $m$ ，因此逆元不存在

码来！

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;

LL quickPow(int a, int b, int p)
{
    LL res = 1 % p;
    
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = res * a % p;
        
        b >>= 1;
        
        a = a * (LL)a % p;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while (n -- )
    {
        int a, p;
        scanf("%d%d", &a, &p);
        
        if(a % p == 0) puts("impossible");
        else printf("%d\n", quickPow(a, p - 2, p));
        
    }
    return 0;
}