筛法求欧拉函数之和

题目描述

求$1\sim n$每个数欧拉函数之和

想法

1. 如果$i$是质数
   $\phi (i)=i-1$

质数$i$只有$1$和$i$两个因数，$i$不和$i$本身互质，因数只有一个$1$，所以互质的数就有$i-1$个

2. 如果$i$不是质数

1. $i\mathrm{\%}j=0$
   $j$是质数
   则$j$即$i$的一个质因子，所以$\phi (i)$中已经包含了$j$

$\phi (j\times i)=j\times i\times (1-\frac{1}{p_1})\times (1-\frac{1}{p_2})\times \dots \times (1-\frac{1}{p_k}))$①
因为 $\phi (i)=i\times (1-\frac{1}{p_1})\times (1-\frac{1}{p_2})\times \dots \times (1-\frac{1}{p_k})$ ②
将②代入①中得：
$\phi (j\times i)=j\times \phi (i)$

2. $i\mathrm{\%}j\ne 0$
   则$j$不是$i$的质因子，根据线性筛中的推导，$j$是$j\times i$的最小质因子

所以$\phi (j\times i)=\phi (i)\times \phi (j)$
由1可得，如果$j$是质数：$\phi (j)=j-1$
$\phi (j\times i)=\phi (i)\times (j-1)$

发现过程中有关质因数，想到线性筛
所以我们可以套用线性筛的板子

码来！

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e6+10;

typedef long long LL;

int primes[N], idx; // 记录质数，idx是下标
int phi[N]; // 存储每个欧拉函数的值
bool st[N]; // 是否是质数

LL get_phi(int n)
{
    phi[1] = 1;
    
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if(!st[i]) // 如果i是质数
        {
            primes[idx++] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }

        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            int t = primes[j] * i;

            st[t] = true;

            if(i % primes[j] == 0) // j是i的质因数的情况
            {
                phi[t] = phi[i] * primes[j];
                break;
            }
            // j不是i的质因数的情况
            phi[t] = phi[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
    
    LL res = 0; // 用longlong类型存储 —— 怕爆int

    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        res += phi[i]; // 计算从1到n的欧拉函数之和
    }
    
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    LL ans = get_phi(n);

    printf("%lld\n", ans);
    
    return 0;
}

欢迎大佬指出本蒟蒻的错误！