分解质因数

分解质因数

给定 $ n $ 个正整数 $ a_i $，将每个数分解质因数，并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。

输入格式

第一行包含整数 $ n $。

接下来 $ n $ 行，每行包含一个正整数 $ a_i $。

输出格式

对于每个正整数 $ a_i $，按照从小到大的顺序输出其分解质因数后，每个质因数的底数和指数，每个底数和指数占一行。

每个正整数的质因数全部输出完毕后，输出一个空行。

数据范围

$ 1 ≤ n ≤ 100 $,

$ 2 ≤ a_i ≤ 2 \times 10^9 $

输入样例：

2
6
8

输出样例：

2 1
3 1

2 3

想法

Q1：质因数是什么？

A1：字面意思，一个数的质因数就是它质数的因数。

Q2：分解质因数是什么？

A2：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

解法

众所周知，x的质因数最多只有一个大于\(\sqrt x\)，通过反证法证明

如果有两个质因数大于\(\sqrt x\)，那么这两个数相乘必然大于x，不成立，因此x的质因数最多只有一个大于\(\sqrt x\)

根据这个性质我们再对小数进行枚举，如果发现了因数就不断除它，统计一共除了多少次，最后输出

Q3：为什么不用判断质数，你不是说质因数是它质数的因数吗？

A3：因为当我们对小数除的时候，那些合数的部分肯定已经被小数除掉了，换句话说，当枚举到的是合数，它无数可除，因为它肯定是前面我们已经出过的质数的倍数。

也许看了代码更好理解呢？

码来！

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

void p(int a)
{
    for(int i = 2; i <= a / i; i ++) // 除小数
    {
        if(a % i == 0)
        {
            int cnt = 0; // 统计
            while(a % i == 0) a /= i, cnt++; // 能除就除到底
            printf("%d %d\n", i, cnt);
        }
    }
    if(a > 1) printf("%d 1\n", a); // 如果除完小数还有剩余，也就是说有大数
    return;
} 

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while(n--)
    {
        int a;
        scanf("%d", &a);
        p(a);
        puts(""); // 记得换行
    }
    return 0;
}