【数理统计】极限定理及抽样分布

目录

• 中心极限定理
• 抽样分布
  • 卡方分布
  • t分布
  • F分布
  • 正态总体的【样本均值】与【样本方差】的分布

中心极限定理

【中心极限定理】设随机变量 \(X_k(k=1,2,...,n)\) 相互独立且服从同一分布，数学期望 \(E(X_k)=\mu\)，方差 \(D(X_k)=\sigma^2\)，当 \(n\) 充分大时，有

• \(\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)\) 近似成立
• \(\bar{X} \sim N(\mu,\sigma^2/n)\) 近似成立
• \(\sum_{k=1}^{n}X_k \sim N(n\mu,n\sigma^2)\) 近似成立

【棣莫孚—拉普拉斯中心极限定理】设随机变量 \(X_k \sim B(n,p)(k=1,2,...,n)\)（二项分布），数学期望 \(E(X_k)=p\)，方差 \(D(X_k)=p(1-p)\)，当 \(n\) 充分大时，有

\[\lim_{n \rightarrow \infty} P\left\{ \frac{X_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \right\} \approx \Phi(x) （此为标准正态分布的分布函数） \]

抽样分布

卡方分布

【定义 1】设 \(X_1, X_2,..., X_n\) 相互独立且都服从标准正态分布 \(N(0,1)\)，则：

\[\chi^2 = \sum_{i=1}^{n} X_i^2 \sim \chi^2(n) \]

即随机变量 \(\chi^2\)（标准正态随机变量的独立平方和）服从自由度为 \(n\) 的卡方分布。

【定义 2】对于任意正数 \(\alpha(0<\alpha<1)\)，称满足条件

\[P\{\chi^2 > \chi_{\alpha}^2 (n)\} = \int_{\chi_{\alpha}^2 (n)}^{+\infty} f(x)dx = \alpha \]

的数为卡方分布的上 \(\alpha\) 分位数。

有如下重要性质：

• 设 \(\chi^2 \sim \chi^2(n)\)，则：\(E(\chi^2) = n\)，\(D(\chi^2) = 2n\)
• 设 \(Y_1 \sim \chi^2(n_1)\) 和 \(Y_2 \sim \chi^2(n_2)\) 相互独立，则：\(Y_1 + Y_2 \sim \chi^2(n_1 + n_2)\)
• 当 \(n\) 足够大（\(n>40\)）时，有：\(\chi_{\alpha}^2 (n) \approx \frac{1}{2}(u_{\alpha} + \sqrt{2n-1})^2\)

t分布

【定义 1】设 \(X \sim N(0,1)\)，\(Y \sim \chi^2(n)\) 相互独立，则

\[t = \frac{X}{\sqrt{Y/N}} \sim t(n) \]

即随机变量 \(t\) 服从自由度为 \(n\) 的 t 分布。

【定义 2】对于任意正数 \(\alpha(0<\alpha<1)\)，称满足条件

\[P\{t > t_{\alpha} (n)\} = \int_{t_{\alpha} (n)}^{+\infty} f(x)dx = \alpha \]

的数为 t 分布的上 \(\alpha\) 分位数。

有如下重要性质：

• \(t_{\alpha}(n) = -t_{1-\alpha}(n)\)
• 当 \(n (n>45)\) 足够大时，有：\(t_{\alpha}(n) \approx u_{\alpha}\)

F分布

【定义 1】设 \(U \sim \chi^2(n_1)\)，\(V \sim \chi^2(n_2)\) 相互独立，则

\[F = \frac{U/n_1}{V/n_2} \sim F(n_1,n_2) \]

即随机变量 \(F\) 服从自由度为 \((n_1,n_2)\) 的 F 分布。

【定义 2】对于任意正数 \(\alpha(0<\alpha<1)\)，称满足条件

\[P\{F > F_{\alpha} (n_1,n_2)\} = \int_{F_{\alpha} (n_1,n_2)}^{+\infty} f(x)dx = \alpha \]

的数为 F 分布的上 \(\alpha\) 分位数。

有如下重要性质：

• \(F_{1-\alpha} (n_1,n_2) = \frac{1}{F_{\alpha} (n_2,n_1)}\)
• \(\frac{1}{F} \sim F(n_2, n_1)\)

正态总体的【样本均值】与【样本方差】的分布

【定理】设 \(X_1, X_2,..., X_n\) 是来自正态总体 \(N(\mu, \sigma^2)\) 的样本，\(\bar{X}\) 为样本均值，\(S^2\) 为样本方差，则有：

• \(\bar{X}\) 和 \(S^2\) 相互独立
• \(\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)\)
• \(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)\)
• \(\frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)\)