雷达气象学（1）——雷达电磁波的散射

目录

• 1.0 电磁波的特征
• 1.1 散射的概念及类型
• 1.2 散射函数——表示粒子的散射能力
• 1.3 瑞利后向散射函数
• 1.4 后向散射截面——更好地表示粒子的散射能力
• 1.5 反射率因子

1.0 电磁波的特征

雷达的探测方式为电磁波。电磁波是在空间传播的电场和磁场两者结合，它在时空上呈现正弦与余弦的变化。

在真空中电磁波的传播速度为：

$$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} = 3.0 \times 10^8 \mathrm{m/s}$$

式中，$\mu_0$ 表示真空中的磁导率，等于 $8.85 \times 19^{-12} \mathrm{F/m}$；而 $\epsilon_0$ 表示真空中的介电常数，等于 $4\pi \times 10^{-7} \mathrm{H/m}$。

在电介质中电磁波的传播速度为：

$$v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \mu_r \epsilon_0 \epsilon_r}}$$

式中，$\mu = \mu_0 \mu_r$ 表示电介质中的磁导率，$\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r$ 表示电介质中的介电常数。$\mu_r$ 称为电介质的相对磁导率，$\epsilon_r$ 称为电介质的相对介电常数。

1.1 散射的概念及类型

反射是光线被物体反射后按同样角度和强度返回的过程，而散射与此不同，如下图所示，它是产生大量较弱的光线并向不同方向传播的过程。

光波就是一种电磁波。因此，电磁波的散射也是一样的：入射波照射降水粒子，使粒子磁化，感应出复杂电荷和电流分布。这些电荷和电流以同样的频率变化，向外辐射电磁波。

雷达探测大气的基础就是散射，降水粒子其实就是一个个散射粒子，雷达通过接收这些粒子散射出的电磁波来观测天气。这些散射粒子就是雷达的气象目标，散射粒子的大小、形状以及它们的电学特性有关，通常将它们称为雷达的目标特性。

散射的类型与入射波长（$\lambda$）和粒子直径（$D$）有关：

• 当 $\frac{D}{\lambda} \ll1$ 时为瑞利散射；
• 当 $\frac{D}{\lambda} \approx1$ 时为米散射；
• 当 $\frac{D}{\lambda} \gg1$ 时为几何光学散射。

电磁波的散射是朝着不同方向的，其中向前的传播称为前向散射，向后的传播称为后向散射。

1.2 散射函数——表示粒子的散射能力

粒子散射电磁波的能力不但与入射电磁波的特性有关，还与散射粒子的大小、形状以及它们的电学特性有关。为了表示粒子的散射能力，首先引入能流密度的概念，能流密度是指单位时间内通过单位面积的能量。粒子的散射能力可以用散射能流密度 $S_s$ 表示。

假定最简单的情况，某个粒子在各个方向都是均匀散射的（即该散射粒子具有各向同性），现在有一股入射能流密度为 $S_i$ 的电磁波照射在该粒子上，则在以粒子为中心、半径为 $R$ 的球面上任意一点所得到的散射能流密度为：

$$S_s = \frac{S_i}{R^2} \beta$$

上式被称为散射函数，式中 $\beta$ 为能量损耗系数。这个式子的意义是：当入射波能量为单位能流密度时，距离粒子中心单位距离处的散射能流密度在数值上即为 $\beta$。

当然，以上是理想情况，实际情况是降水粒子在各个方向并非都是均匀散射的（即降水粒子具有各向异性），此时能量损耗系数的大小与空间位置有关，即应写成 $\beta(\theta, \phi)$，此时的散射能流密度为：

$$S_s = \frac{S_i}{R^2} \beta(\theta, \phi)$$

其中 $\beta(\theta, \phi)$ 又称为方向函数，$\phi$ 是任意散射方向与 $xOy$ 平面之间的夹角，$\theta$ 是任意散射方向在 $xOy$ 平面上的投影与入射波能流密度方向之间的夹角，如下图所示。

接下来对瑞利散射的方向函数进行讨论。

1.3 瑞利后向散射函数

在粒子的直径远小于电磁波波长情况下，方向函数 $\beta(\theta, \phi)$ 的具体表达式为：

$$\beta(\theta, \phi) = \frac{16 \pi^4 r^6}{\lambda^4} |K|^2 (\cos^2 \theta \cos^2 \phi + \sin^2 \phi)$$

式中，$\lambda$ 为电磁波波长，$D$ 为散射粒子直径，$K = \frac{m^2 - 1}{m^2 + 2}$，其中 $m$ 为粒子的复折射系数。这个表达式说明：雷达波长越短，粒子半径越大，则散射能力越强。

雷达天线接收到的只是粒子散射中返回雷达方向的那一部分能量，这部分能量称为后向散射能量。因此，对探测云、雨等有意义的是粒子的后向散射，为此我们只直接研究 $xOy$ 平面上的方向函数图像。

瑞利散射的方向函数在 $yOz$ 平面的几何图形如上图右边所示，而在 $xOy$ 平面的几何图形如上图左边所示，此时有 $\phi = 0°$，上式可写为：

$$\beta(\theta) = \frac{16 \pi^4 r^6}{\lambda^4} |K|^2 \cos^2 \theta$$

上式表明，当 $\theta = 0°$ 或 $180°$，即进行前向散射和后向散射时，方向函数 $\beta(\theta)$ 最大。当 $\theta = 180°$ 时，即可得到瑞利散射的后向散射函数：

$$\beta(\pi) = \frac{16 \pi^4 r^6}{\lambda^4} |K|^2$$

由上式易得后向散射能流密度为：

$$S_s = \frac{S_i}{R^2} \beta(\pi)$$

这就是在瑞利散射下，入射能流密度为 $S_i$ 在以粒子为中心、半径为 $R$ 的球面上任意一点所产生的散射能流密度。

1.4 后向散射截面——更好地表示粒子的散射能力

上一节中我们使用后向散射能流密度来表示粒子的散射能力，但是这个式子中涉及到距离变量，所以当同样的粒子在不同距离时，后向散射能流密度是不一样的，但实际上散射能力是相同的。于是引入了散射截面（又称为雷达截面）这个概念，用以消除距离的影响。由于在雷达观测中最关心的是后向散射，所以我们也只关心后向散射截面。它的定义如下：

$$\sigma = \frac{S_s}{S_i} 4\pi R^2 = 4\pi \beta(\pi)$$

这个式子表明：散射截面在数值上等于发射功率（$S_i$）与接受功率（$S_s$）比值的 $4\pi$ 倍。如何理解这个式子呢？见下图：

以入射波能流密度 $S_i$ 乘上散射截面 $\sigma$ 得到一个散射粒子的总散射功率 $S_s$；当散射粒子（图中蓝色实圆）以这个总功率作各向同性散射时，散射到天线处的功率密度正好等于该粒子在天线处造成的实际的后向散射能流密度。因此，我们可以从粒子的散射截面的大小去了解它所造成的后向散射的大小。这就是引进散射截面这个物理量的原因。

根据上式很容易得到瑞利散射的后向散射截面为：

$$\sigma = 4\pi \beta(\pi) = \frac{\pi^5 D^6}{\lambda^4} |K|^2$$

需要注意的是，后向散射截面是一个虚拟的截面面积，它可用来定量地表示粒子后向散射能力的强弱。后向散射截面越大，粒子的后向散射截面越强，在同样的条件下，它所产生的回波信号也越强。有实验表明，随着粒子直径的增大，后向散射截面总体趋势是迅速增大，但并不是单调增大，而是呈现波动式的增长。

1.5 反射率因子

雷达天线接收到的是一群大小不同的云、雨滴的后向散射功率的总和。假定组成这群云、雨滴的粒子是互相独立、无规则分布的，则这群粒子同时在天线处造成的总散射功率平均值,等于每个粒子散射功率的总和。为此，我们定义雷达反射率为单位体积内全部降水粒子的雷达截面之和 $\eta$ 为：

$$\eta = \sum_{i=1}^{N} \sigma_i$$

把散射截面的公式带入可得：

$$\eta = \frac{\pi^5}{\lambda^4} |K|^2 \sum_{i=1}^{N} D_i^6$$

令 $Z=\sum_{i=1}^{N} D_i^6$，这个值称为雷达的反射率因子（又称为反射率），其意义为单位体积内所有降水粒子直径的六次方之和。因为它与雷达参数和测距无关，而仅和降水粒子的直径直接相关，所以它是雷达气象中一个非常重要的物理量。

反射率因子的单位为 $\mathrm{mm^6/m^3}$，由于降水粒子的尺度可以从毫米（雨滴）到厘米（冰雹），如果直接用这个单位来表示，范围会很大。所以通常把它转换为分贝形式来表示，转换如下：

$$1 \mathrm{dBZ} = 10 \times \lg \frac{Z}{Z_0}$$

其中，$Z_0 = 1 \mathrm{mm^6/m^3}$。一般来说，40~50dBZ 表示有大雨天气，而 60~70dBZ 表示有冰雹过程。

需要注意的是，上式是在瑞利散射的条件下得到的，如果降水粒子的直径较大或雷达波长较短，就应该用米散射理论计算，不过我们还是想使用上面的公式，于是引进了等效反射率因子 $Z_e$ 来解决这个问题。它与反射率因子的关系是：

$$\frac{Z_e}{Z} = \frac{\sum \sigma_{米}}{\sum \sigma_{瑞利}}$$

于是可得：

$$Z_e = \frac{\lambda^4}{\pi^5} |K|^{-2} \sum_{i=1}^{N} \sigma_{米}$$

实际工作中，一般都会使用瑞利散射的后向散射截面公式计算。但在计算完成后，对于不同粒子直径和雷达波长，可能对应不同类型的散射，所以还需要进一步订正，至于具体如何订正就省略不说了。