大气热力学（10）——条件性不稳定

本篇文章源自我在 2021 年暑假自学大气物理相关知识时手写的笔记，现转化为电子版本以作存档。相较于手写笔记，电子版的部分内容有补充和修改。笔记内容大部分为公式的推导过程。

目录

• 10.1 为什么需要关注条件性不稳定？
• 10.2 不稳定能量
• 10.3 条件性不稳定的类型
  • 10.3.1 潜在不稳定型
  • 10.3.2 绝对不稳定型
  • 10.3.3 绝对稳定型

10.1 为什么需要关注条件性不稳定？

本篇文章将讲解条件性不稳定。为什么要关注这个呢？原因有几点：

• 观测表明，热带地区自地面以上到约 15km 高度处，从平均来看，都是处于条件不稳定状态。其他地区的大气层结也大多是条件性不稳定的。
• 厚的条件性不稳定大气，或者是自地面以上对流层整层大气的稳定度时，由于大气温度的垂直分布很复杂，\(\gamma\) 不是常数，难以使用上节内容判定大气稳定度。
• 在讨论厚气层时，气块不再作微小的垂直位移，而是有限的垂直位移，离开了平衡位置的未饱和气块有可能上升达到凝结而成为饱和气块。

以上几点增加了分析问题的难度，因此，我们需要采用另外的判据。

10.2 不稳定能量

设有条件性不稳定厚气层，其满足 \(\gamma_m < \gamma < \gamma_d\)，气层底部气压为 \(p_0\)，顶部气压为 \(p\)。在气层底部 \(z_0\) 任取一气块，它受到扰动后将垂直运动到高度 \(z\)，气块的垂直加速度为：

\[\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t} = g \frac{T_v - T_{ve}}{T_{ve}} \]

上式右边是单位质量气块的净浮力。现等式两边乘以 \(\mathrm{d} z\) 得：

\[\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t} \mathrm{d} z = g \frac{T_v - T_{ve}}{T_{ve}} \mathrm{d} z \]

此时等式右边为气块垂直移动 \(\mathrm{d} z\) 时净浮力所做的功。利用 \(\mathrm{d} z = w \mathrm{d} t\)，上式可写为：

\[w \mathrm{d} w = g \frac{T_v - T_{ve}}{T_{ve}} \mathrm{d} z \]

对上式进行积分：

\[\int_{w_0}^{w} w \mathrm{d} w = g \int_{z_0}^{z} \frac{T_v - T_{ve}}{T_{ve}} \mathrm{d} z \]

即：

\[\Delta E_k = \frac{1}{2} w^2 - \frac{1}{2} w_0^2 = g \int_{z_0}^{z} \frac{T_v - T_{ve}}{T_{ve}} \mathrm{d} z \]

由气体状态方程 \(p = \rho R_d T_{ve}\) 和静力学方程 \(\mathrm{d} p = -g \rho \mathrm{d} z\) 可得 \(\frac{\mathrm{d} p}{p} = -\frac{g}{R_d T_{ve}} \mathrm{d} z\)，代入到上式中：

\[\begin{aligned} \Delta E_k &= -\int_{p_0}^{p} \frac{T_v - T_{ve}}{T_{ve}} \frac{R_d T_{ve}}{p} \mathrm{d} p \\ &= -R_d \int_{p_0}^{p} (T_v - T_{ve}) \frac{\mathrm{d} p}{p} \\ &= R_d \int_{p_0}^{p} (T_v - T_{ve}) \mathrm{d} (-\ln p) \end{aligned} \]

上式中的 \(T_v\) 和 \(T_{ve}\) 都是复杂函数，很难进行积分。但是可以注意到，式中的 \(-\ln p\) 正好是 T-lnP 图的纵坐标。根据定积分与面积的关系，上式的积分部分正好是 T-lnP 图上由气块路径曲线（或气块状态曲线，\(T_v\)）、大气层结曲线（\(T_{ve}\)）和等压线 \(p_0\)、\(p\) 所包围的面积，如下图所示：

10.3 条件性不稳定的类型

根据上一节图中层结曲线和状态曲线的位置，可以把条件性不稳定大气分为三类：绝对不稳定型、绝对稳定型、潜在不稳定型。

10.3.1 潜在不稳定型

如上图，状态曲线和层结曲线有几个交点，交点之间围成的面积：

• F 点以下：状态曲线位于层结曲线左边，气块温度低于环境温度，即 \(T_v - T_{ve} < 0\)，为负面积区。
• F 点至 D 点：状态曲线位于层结曲线右边，气块温度高于环境温度，即 \(T_v - T_{ve} > 0\)，为正面积区。
• D 点以上：状态曲线位于层结曲线左边，气块温度低于环境温度，即 \(T_v - T_{ve} < 0\)，为负面积区。

如果有外力对气块做功（如地形或锋面的强迫抬升），使气块克服负浮力上升，那么一旦越过了 F 点，气块就会受到正浮力而加速上升。这个 F 点所在的高度被称为自由对流高度（Level of Free Convection, LFC）。气块到达 D 点时，上升加速度为零，上升速度达到最大，进入 D 点以上的负面积区后便会减速上升。这个 D 点所在的高度被称为平衡高度（Equilibrium Level, EL）。气块上升至平衡高度，意味着原本不稳定的气块来到一个浮力平衡的稳定状态，对流活动也随之减缓。通常上升气流会发展到接近对流层顶和积雨云的云砧部分为止，因此平衡高度也相当接近此高度。另外在图中还可以看到抬升凝结高度（Lifting Condensation Level, LCL），它是凝结高度的类型之一，表示未饱和的湿气块被干绝热过程抬升至水汽饱和所需要的高度。

抬升凝结高度所对应的抬升运动是受迫抬升，包括锋面抬升、地形抬升和近地面辐合引发的对流抬升，但不包括热力驱动的对流抬升，后者对应的凝结高度是对流凝结高度（Convective Condensation Level, CCL），CCL 也会在后文提及。

我们把正面积区称为对流有效势能（Convective Available Potential Energy, CAPE），而把 LFC 高度以下的负面积区称为对流抑制能量（Convective Inhibition, CIN）。CIN 的物理意义是：处于大气底部的气块要想达到自由对流高度 LFC，至少需要从其他途径获取的能量下限。

根据 CAPE 值，可以估算气块到达平衡高度 EL 时的最大垂直速度 \(w_{max}\)。该估算公式基于 CAPE 向动能转换的程度，设 \(w_{EL}\) 为气块到达平衡高度 EL 的垂直速度，\(w_{LFC}\) 为气块到达自由对流高度 LFC 的垂直速度，则有：

\[\mathrm{CAPE} = \frac{1}{2} (w_{EL}^2 - w_{LFC}^2) \]

如果令 \(w_{LFC} = 0\)，则上式可整理为：

\[w_{max} = w_{EL} = \sqrt{2 \times \mathrm{CAPE}} \]

一般这个估算的值都是偏高的，习惯把估算值再除以 2 再使用。

它们的关系如下表所示：

这也是“潜在不稳定”的名称由来：当有足够的抬升力使气块上升到自由对流高度 LFC 以上时，潜在不稳定便变成了真实的不稳定；若气块获得的能量不足以克服对流抑制能量 CIN 时，气块会回到原来平衡位置，气层仍处于平衡状态。

根据正负面积的大小，潜在不稳定又可分为两类：

• 真潜不稳定：正面积（CAPE）> 负面积（CIN），若此时大气低层的湿度大，则气块很容易达到凝结高度，并被抬升到自由对流高度 LFC 以上，有利于对流的发展。
• 假潜不稳定：正面积（CAPE）< 负面积（CIN），气块不容易到达自由对流高度，即使因外力达到了自由对流高度，但由于 CAPE 较小，仍很难发展成对流。

10.3.2 绝对不稳定型

气块受到某种冲击向上运动时，气块的温度始终高于周围大气的温度，气块将不断加速向上运动，温差越大，气层能提供气块加速的不稳定能越多，这种作用越明显。

这时，状态曲线始终位于层结曲线右边，气块温度始终高于环境温度，即 \(T_v - T_{ve} > 0\)，全部都是正面积区，即都是对流有效势能 CAPE。这种情况在实际大气中很难持久地维持，因此也很少出现。

如上图所示，低层大气是一个干绝热气层，此时只要低层有一点扰动，空气就能上升，若水汽含量较大，上升到某一高度就会发生凝结，这个凝结高度被称为对流凝结高度（Convective Condensation Level, CCL）。空气经过对流凝结高度后将沿假绝热过程加速上升，所以此时对流凝结高度又是自由对流高度。这是夏天午后发生局地热雷雨时大气层结的典型状态。

10.3.3 绝对稳定型

状态曲线始终位于层结曲线左边，气块温度始终低于环境温度，即 \(T_v - T_{ve} < 0\)，全部都是负面积区，即都是对流抑制能量 CIN。这种情况下，气块虽然在起始高度上受到外力作用而强迫上升，但由于气块温度始终高于环境温度，垂直运动不能发展，难以形成对流。

【注意】本文和上篇文章在讨论大气稳定度时，使用的是“气块法”，即假设气块在大气中作绝热移动，与环境空气没有热量交换，环境空气始终保持静止，这些假定与实际情况是不符的。还有一种分析大气稳定度的方法是“薄层法”，对“气块法”做出了修正，考虑了下沉气流的增温效应。

另外，以上对稳定度的讨论，都是针对气层中空气块的垂直运动而言。在实际大气中，有时整层空气会被同时抬升，在上升的过程中，气层的稳定情况也会发生变化，这样造成的气层不稳定，称为位势不稳定。至于这部分内容就省略了，有兴趣可查阅相关资料。