大气热力学（9）——大气稳定度

本篇文章源自我在 2021 年暑假自学大气物理相关知识时手写的笔记，现转化为电子版本以作存档。相较于手写笔记，电子版的部分内容有补充和修改。笔记内容大部分为公式的推导过程。

目录

• 9.1 大气稳定度的概念
• 9.2 大气稳定度的基本公式
• 9.3 使用温度递减率作为稳定度判据
  • 9.3.1 干绝热过程的稳定度判据
  • 9.3.2 湿绝热过程的稳定度判据
  • 9.3.3 稳定度判据的归纳
• 9.4 使用位温和相当位温作为稳定度判据
  • 9.4.1 干绝热过程的稳定度判据
  • 9.4.2 湿绝热过程的稳定度判据
  • 9.4.3 稳定度判据的归纳

9.1 大气稳定度的概念

许多天气现象的发生，都和大气稳定度有密切关系。大气稳定度是指气块受任意方向扰动后，返回或远离原平衡位置的趋势和程度。它表示在大气层中的个别空气块是否安于原在的层次，是否易于发生垂直运动，即是否易于发生对流。

假如有一团空气受到对流冲击力的作用，产生了向上或向下的运动，那么就可能出现三种情况：

• 如果气团受力移动后，逐渐减速，并有返回原来高度的趋势，这时的气层，对于该空气团而言是稳定的；
• 如果气团一离开原位就逐渐加速运动，并有远离起始高度的趋势，这时的气层，对于该空气团而言是不稳定的；
• 如果气团被推到某一高度后，既不加速也不减速，这时的气层，对于该空气团而言是中性气层。

9.2 大气稳定度的基本公式

一般情况下，单位质量（1kg）的气块运动在垂直方向上受到气压梯度力和重力的合力作用，垂直运动方程可写为：

\[\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} - g \]

式中，\(w\) 为垂直运动速度，\(\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}\) 为垂直运动的加速度，\(\rho\) 为气块密度。假设环境空气密度为 \(\rho_e\)，压强为 \(p_e\)，则气块满足静力平衡：

\[\frac{\partial p_e}{\partial z} = -\rho_e g \]

把上式代入到第一个式子中，得：

\[\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t} = g \frac{\rho_e - \rho}{\rho} \]

空气密度与温度高低以及所含水汽有关，因此常用气块内外虚温差来讨论大气稳定度。根据准静力条件和状态方程 \(p = \rho RT\)，可得以下关系：

\[\frac{\rho_e}{\rho} = \frac{T_v}{T_{ve}} \]

上式中，\(T_v\) 和 \(T_{ve}\) 分别为气块和同高度环境大气的虚温，代入第三个式子得：

\[\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t} = g \frac{T_v - T_{ve}}{T_{ve}} \]

假设 \(T_v - T_{ve} \approx T - T_e\) 且 \(T_{ve} \approx T_e\)，则上式可变为：

\[\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t} = g \frac{T - T_e}{T_e} \]

上式即为判别大气稳定度的基本公式，容易得知：

• 当空气块温度比周围空气温度高，即 \(T > T_e\) 时，则它将受到一向上加速度而上升；
• 当 \(T < T_e\) 时，将受到向下的加速度；
• 当 \(T = T_e\) 时，垂直运动将不会发展。

9.3 使用温度递减率作为稳定度判据

使用温度来判定大气稳定度不太方便，我们通常用周围空气的温度直减率（\(\gamma\)）与上升空气块的干绝热直减率（\(\gamma_d\)）或湿绝热直减率（\(\gamma_m\)）的对比来判断。

令某气块 \(i\) 的温度直减率为 \(\gamma_i\)，周围环境的温度直减率为 \(\gamma\)，当气块从平衡位置作一段垂直位移 \(\mathrm{d} z\) 后，其温度变成：

\[T_i = T_0 - \gamma_i \mathrm{d} z \]

气块所在高度的环境大气温度为：

\[T_e = T_0 - \gamma \mathrm{d} z \]

其中 \(T_0\) 是平衡位置的大气温度。由此可得气块与环境大气温度之差为：

\[T_i - T_e = (\gamma - \gamma_i) \mathrm{d} z \]

将上式代入到判别大气稳定度的基本公式中可得：

\[\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t} = g \frac{\gamma - \gamma_i}{T_e} \mathrm{d} z \]

对上式可作如下讨论：

• 若 \(\gamma > \gamma_i\)：无论气块向上运动（\(\mathrm{d} z > 0\)）还是向下运动（\(\mathrm{d} z < 0\)），气块的加速度 \(\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}\) 总是和 \(\mathrm{d} z\) 的符号一致，有加速离开原平衡位置的倾向。具有这种减温率 \(\gamma\) 的大气层结是不稳定层结，或称具有负静力稳定度。
• 若 \(\gamma = \gamma_i\)：垂直运动既不发展又不衰减，大气层结是中性的，或称为零稳定。
• 若 \(\gamma < \gamma_i\)：无论气块向上运动（\(\mathrm{d} z > 0\)）还是向下运动（\(\mathrm{d} z < 0\)），气块的加速度 \(\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}\) 总是和 \(\mathrm{d} z\) 的符号相反，垂直运动受到抑制而削弱。具有这种减温率 \(\gamma\) 的大气层结是稳定层结，或称具有正静力稳定度。

对于气块的温度直减率 \(\gamma_i\)，需要分为干绝热过程和湿绝热过程两种情况讨论。

9.3.1 干绝热过程的稳定度判据

当气块未饱和时，\(\gamma_i = \gamma_d\)，此时有如下三种情况：

• 若 \(\gamma > \gamma_d\)：不稳定层结，或具有负静力稳定度。
• 若 \(\gamma = \gamma_d\)：中性层结，或具有零稳定度。
• 若 \(\gamma < \gamma_d\)：稳定层结，或具有正静力稳定度。

为了更好理解上述判定方法，我们举个例子：设有 A、B、C 三团空气，均未饱和，其位置都在离地 200m 的高度上，在作升降运动时其温度均按干绝热直减率 \(\gamma_d\) 变化，即 1℃/100m。而周围空气的温度直减率 \(\gamma\) 分别为 0.8℃/100m、1℃/100m 和 1.2℃/100m，则可以有三种不同的稳定度（如下图所示）：

• 对于气块 A（上图左列），它受到外力作用后：
  • 如果上升到 300m 高度，其本身温度（11℃）低于周围大气温度（11.2℃），它向上的速度就要减小，并有返回原来高度的趋势；
  • 如果下降到 100m 高度，其本身温度（13℃）高于周围大气温度（12.8℃），它向下的速度就要减小，也有返回原来高度的趋势；
  • 因此，当 \(\gamma < \gamma_d\) 时，大气处于稳定状态。
• 对于气块 B（上图中列），它受到外力作用后：不管上升或下降，其本身温度均与周围空气温度相等，它的加速度等于零。因此，当 \(\gamma = \gamma_d\) 时，大气处于中性平衡状态。
• 对于气块 C（上图右列），它受到外力作用后：
  • 如果上升到 300m 高度，其本身温度（11℃）高于周围大气温度（10.8℃），则要加速上升；
  • 如果下降到 100m 高度，其本身温度（13℃）低于周围大气温度（13.2℃），则要加速下降；
  • 因此，当 \(\gamma > \gamma_d\) 时，大气处于不稳定状态。

如果把以上三个例子画在 T-lnP 图上，则可得到以下图：

图中，\(T_i\) 为气团温度（倾斜虚线），\(T\) 为周围大气温度（倾斜实线）。左列为气团 A 的情况（\(\gamma < \gamma_d\)），中列为气团 B 的情况（\(\gamma = \gamma_d\)），右列为气团 C 的情况（\(\gamma > \gamma_d\)）。

上图中倾斜的实线即为层结曲线，根据探空资料点绘出来的大气中实际温度垂直分布情况的曲线，称为温度层结曲线，简称层结曲线，有时又称环境曲线。上图中倾斜的虚线即为状态曲线，表示空气块绝热上升时温度变化的曲线，叫做状态曲线。

需要注意的是，状态曲线一定是分成两段的：未饱和的湿气块上升时，到凝结高度以前其温度变化可用干绝热线表示（如下图 AB 段）；达到凝结高度后继续上升时，其温度变化可用湿绝热线表示（如下图 BC 段）。如果地面气温与露点差越小，上升气块的状态曲线就越早地从干绝热线转为湿绝热线。

下图是层结曲线和状态曲线在探空测量得到的 T-lnP 图上的位置，左边的灰色实线为状态曲线，右边的黑色实线为层结曲线，这两条线靠得相当接近。可以看到，状态曲线在高度为 800hPa 左右的位置来了一个“大拐弯”，可以断定此处即为气块的凝结高度。

最左侧的黑色实线是露点温度曲线，露点温度是当前气压、当前湿度所要达到饱和的最低温度。

9.3.2 湿绝热过程的稳定度判据

当气块饱和时，气块按假绝热过程变化，\(\gamma_i = \gamma_m\)，此时也有如下三种情况：

• 若 \(\gamma > \gamma_m\)：不稳定层结，或具有负静力稳定度。
• 若 \(\gamma = \gamma_m\)：中性层结，或具有零稳定度。
• 若 \(\gamma < \gamma_m\)：稳定层结，或具有正静力稳定度。

9.3.3 稳定度判据的归纳

注意到 \(\gamma_m < \gamma_d\)，结合上述两种情况的讨论，可以得出以下结论：

• 若 \(\gamma > \gamma_d\)：绝对不稳定，在 T-lnP 图上表现为层结曲线在干绝热线的左边。
• 若 \(\gamma_m < \gamma < \gamma_d\)：条件性不稳定，在 T-lnP 图上表现为层结曲线在干、湿绝热线的中间，所以又可分两种情况：
  • 若气块是饱和的：不稳定。
  • 若气块是未饱和的：稳定。
• 若 \(\gamma < \gamma_m\)：绝对稳定，在 T-lnP 图上表现为层结曲线在湿绝热线的右边。

“绝对”一词的含义是，该判据对饱和气块和未饱和气块都适用。实际上，除了近地面的气层可能达到超绝热（\(\gamma > \gamma_d\)）的情况外，绝对不稳定的情况是很少见的。处于条件性稳定的大气，如果存在局部的对流活动或动力因子的强烈抬升作用，使得空气上升到凝结高度以上，那么条件性不稳定可能发展为不稳定，进而造成局地性雷雨天气。

另外，如果 \(\gamma\) 很小，甚至等于零（等温）或小于零（逆温），会对对流的发展造成障碍。所以习惯上常将逆温、等温以及 \(\gamma\) 很小的气层称为阻挡层。

9.4 使用位温和相当位温作为稳定度判据

由于在绝热过程中，气块的位温（或相当位温）为常值，因此也可利用层结的位温随高度分布 \(\frac{\partial \theta}{\partial z}\) 来作为稳定度的判据。本节是本篇文章的补充内容，可选读。

9.4.1 干绝热过程的稳定度判据

先写出位温的表达式：

\[\theta = T \bigg(\frac{1000}{p} \bigg)^{\frac{R}{C_{p,m}}} \]

对两边取对数：

\[\ln \theta = \ln T + \frac{R}{C_{p,m}} \ln 1000 - \frac{R}{C_{p,m}} \ln p \]

对上式取对高度 \(z\) 的偏导：

\[\begin{aligned} \frac{1}{\theta} \frac{\partial \theta}{\partial z} &= \frac{1}{T} \frac{\partial T}{\partial z} - \frac{R}{C_{p,m}} \frac{1}{p} \frac{\partial p}{\partial z} \\ &= \frac{1}{T} \bigg( \frac{\partial T}{\partial z} - \frac{RT}{C_{p,m}} \frac{1}{p} \frac{\partial p}{\partial z} \bigg) \end{aligned} \]

由静力学方程 \(\frac{\partial p}{\partial z} = -g \rho\) 可得：

\[\frac{1}{\theta} \frac{\partial \theta}{\partial z} = \frac{1}{T} \bigg( \frac{\partial T}{\partial z} + \frac{RT}{C_{p,m}} \frac{g \rho}{p} \bigg) \]

由气体状态方程 \(p = \rho RT\) 可得：

\[\frac{1}{\theta} \frac{\partial \theta}{\partial z} = \frac{1}{T} \bigg( \frac{\partial T}{\partial z} + \frac{g}{C_{p,m}} \bigg) \]

注意大气温度直减率 \(\gamma = -\frac{\partial T}{\partial z}\) 和干绝热直减率 \(\gamma_d = \frac{g}{C_{p,m}}\)，上式可写为：

\[\frac{1}{\theta} \frac{\partial \theta}{\partial z} = \frac{1}{T} ( -\gamma + \gamma_d ) \]

即：

\[\frac{\partial \theta}{\partial z} = -\frac{\theta}{T} ( \gamma - \gamma_d ) \]

于是：

• 当 \(\frac{\partial \theta}{\partial z} > 0\)，即 \(\gamma < \gamma_d\) 时，气层稳定，在 T-lnP 图上表现为层结曲线在干绝热线的右边；
• 当 \(\frac{\partial \theta}{\partial z} < 0\)，即 \(\gamma > \gamma_d\) 时，气层不稳定，在 T-lnP 图上表现为层结曲线在干绝热线的左边；
• 当 \(\frac{\partial \theta}{\partial z} = 0\)，即 \(\gamma = \gamma_d\) 时，气层中性。

9.4.2 湿绝热过程的稳定度判据

先写出假相当位温的定义式：

\[\theta_{se} = \theta \cdot \exp \bigg(\frac{L q_s}{C_{p,m} T} \bigg) \]

对上式取对数：

\[\ln \theta_{se} = \ln \theta + \frac{L q_s}{C_{p,m} T} \]

对上式取对高度 \(z\) 的偏导：

\[\frac{1}{\theta_{se}} \frac{\partial \theta_{se}}{\partial z} = \frac{1}{\theta} \frac{\partial \theta}{\partial z} + \frac{L}{C_{p,m} T} \frac{\mathrm{d} q_s}{\mathrm{d} z} \]

由湿绝热直减率 \(\gamma_m = \gamma_d + \frac{L}{C_{p, m}} \frac{\mathrm{d} q_s}{\mathrm{d}z}\) 和 \(\frac{\partial \theta}{\partial z} = -\frac{\theta}{T} ( \gamma - \gamma_d )\)，可将上式写为：

\[\begin{aligned} \frac{1}{\theta_{se}}\frac{\partial \theta_{se}}{\partial z} & = -\frac{1}{T} ( \gamma - \gamma_d ) + \frac{1}{T} (\gamma_m - \gamma_d) \\ & = -\frac{1}{T} ( \gamma - \gamma_m ) \end{aligned} \]

即：

\[\frac{\partial \theta_{se}}{\partial z} = -\frac{\theta_{se}}{T} ( \gamma - \gamma_m ) \]

于是：

• 当 \(\frac{\partial \theta_{se}}{\partial z} > 0\)，即 \(\gamma < \gamma_m\) 时，气层稳定，在 T-lnP 图上表现为层结曲线在湿绝热线的右边；
• 当 \(\frac{\partial \theta_{se}}{\partial z} < 0\)，即 \(\gamma > \gamma_m\) 时，气层不稳定，在 T-lnP 图上表现为层结曲线在湿绝热线的左边；
• 当 \(\frac{\partial \theta_{se}}{\partial z} = 0\)，即 \(\gamma = \gamma_m\) 时，气层中性。

9.4.3 稳定度判据的归纳

结合上述两种情况的讨论，可以得出以下结论：

• 当 \(\frac{\partial \theta_{se}}{\partial z} > 0\) 时，为绝对稳定气层，在 T-lnP 图上表现为层结曲线在湿绝热线的右边；
• 当 \(\frac{\partial \theta}{\partial z} < 0\) 时，为绝对不稳定气层，在 T-lnP 图上表现为层结曲线在干绝热线的左边；
• 当 \(\frac{\partial \theta_{se}}{\partial z} < 0\) 及 \(\frac{\partial \theta}{\partial z} > 0\) 时，为条件不稳定气层。