大气热力学（7）——湿度参数

本篇文章源自我在 2021 年暑假自学大气物理相关知识时手写的笔记，现转化为电子版本以作存档。相较于手写笔记，电子版的部分内容有补充和修改。笔记内容大部分为公式的推导过程。

目录

• 7.1 大气湿度的概念
• 7.2 水汽压
  • 7.2.1 水汽压
  • 7.2.2 饱和水汽压
  • 7.2.3 饱和差
• 7.3 混合比与比湿
  • 7.3.1 水汽混合比
  • 7.3.2 比湿
• 7.4 相对湿度与绝对湿度
  • 7.4.1 相对湿度
  • 7.4.2 绝对湿度
• 7.5 露点变化和抬升凝结高度
  • 7.5.1 露点温度
  • 7.5.2 抬升凝结高度（LCL）
• 7.6 两个例子理解湿度参数
  • 7.6.1 往封闭空间加入水汽的例子
  • 7.6.2 将封闭空间降温的例子
• 7.7 干球温度与湿球温度

7.1 大气湿度的概念

表示大气中水汽量多少的物理量称大气湿度。大气湿度状况与云、雾、降水等关系密切。下面来介绍几个表示大气湿度的物理量。

7.2 水汽压

7.2.1 水汽压

大气压力是大气中各种气体压力的总和。水汽和其它气体一样，也有压力。大气中的水汽所产生的那部分压力称水汽压（用 $e$ 表示）。它的单位和气压一样，也用 hPa 表示。假设湿空气中水汽的摩尔分数为：

$$\chi_w = \frac{n_w}{n_w + n_d}$$

其中，$n_w$ 和 $n_d$ 分别为水汽和干空气的摩尔数，则水汽的分压强为：

$$e = \chi_w p$$

7.2.2 饱和水汽压

在温度一定情况下，单位体积空气中的水汽量有一定限度，如果水汽含量达到此限度，空气就呈饱和状态，这时的空气称饱和空气。饱和空气的水汽压称饱和水汽压（用 $E$ 表示），也叫最大水汽压，因为超过这个限度，水汽就要开始凝结。实验和理论都可证明，饱和水汽压随温度的升高而增大。在不同的温度条件下，饱和水汽压的数值是不同的。饱和水汽压随温度的变化率由克拉珀龙-克劳修斯方程决定，即：

$$\frac{\mathrm{d} e_s}{\mathrm{d} T} = \frac{L_we}{R_w T^2}$$

式中，$e_s$ 是纯水平液面的饱和水汽压，$R_w$ 是水汽的比气体常数，$L_w$ 是相变潜热。

7.2.3 饱和差

在一定温度下，饱和水汽压与实际空气中水汽压之差称饱和差（用 $d$ 表示），即：

$$d = E - e$$

饱和差表示实际空气距离饱和的程度。在研究水面蒸发时常用到饱和差，它能反映水分子的蒸发能力。

7.3 混合比与比湿

7.3.1 水汽混合比

一团湿空气中，水汽质量（或密度）与干空气质量（或密度）的比值称水汽混合比（用 $r$ 表示），其单位为 g/kg，定义式如下：

$$r = \frac{m_w}{m_d} = \frac{\rho_w}{\rho_d}$$

其中，$m_w$ 为湿空气中水汽的质量，$m_d$ 为湿空气中干空气的质量；$\rho_w$ 为湿空气的水汽分密度，$\rho_d$ 为湿空气的干空气分密度。由于水汽和干空气均遵从理想气体状态方程，所以有：

$$r = \frac{\rho_w}{\rho_d} = \frac{e}{R_wT} / \frac{p-e}{R_dT} = \frac{R_d}{R_w} \frac{e}{p-e} = 0.622 \frac{e}{p-e}$$

其中，$p$ 表示湿空气的总压强，$e$ 表示其中水汽部分的压强（即水汽压），$p-e$ 是干空气的压强。干空气的气体常数为 $R_d$ 水汽的气体常数为 $R_w$。在地球大气可观测的温度范围内，$p >> e$，所以有：

$$r \approx 0.622 \frac{e}{p}$$

因此，在给定的温度条件下，混合比与总压强成反比。

对于饱和的湿空气，水汽质量与干空气质量的比值称饱和水汽混合比（又称饱和混合比），用 $r_s$ 表示。比如，25℃ 下的饱和混合比为 20g/kg，说明每千克饱和空气中含有 20g 水汽。

7.3.2 比湿

在一团湿空气中，水汽的质量与该团空气总质量（水汽质量加上干空气质量）的比值，称比湿（用 $q$ 表示），其单位为 g/g，即表示每一克湿空气中含有多少克的水汽（也有用每千克质量湿空气中所含水汽质量的克数表示，即g/kg）。定义式如下：

$$q = \frac{m_w}{m_d + m_w} = \frac{r}{ 1 + r }$$

其中，$m_w$ 为该团湿空气中水汽的质量，$m_d$ 为该团湿空气中干空气的质量。通常大气中的混合比与比湿都小于 0.04，因此可以简单认为 $q \approx r$。

在 T-lnP 图上，等饱和比湿线是根据饱和比湿公式，并利用饱和水汽压的经验公式作积分而得到的。证明过程在这里就省略了。由于等温线就是等饱和水汽压线，而压强 p 随着纵坐标而减少，因此这组等饱和比湿线看起来像一组偏离等温线的近似直线，如下图所示，图中紫色线即为等饱和比湿线：

现在我们把已经接触过的四条线都标注在 T-lnP 图上：

7.4 相对湿度与绝对湿度

7.4.1 相对湿度

相对湿度（用 $\mathrm{RH}$ 表示）就是空气中的实际水汽压与同温度下的饱和水汽压的比值，也可以指空气中实际水汽含量与同温度下时饱和水汽含量的比值，即：

$$\mathrm{RH} = \frac{e}{E} \times 100\% = \frac{\gamma}{\gamma_s} \times 100\%$$

相对湿度直接反映空气距离饱和的程度。当其接近 100％ 时，表明当时空气接近于饱和。当水汽压不变时，气温升高，饱和水汽压增大，相对湿度会减小。

7.4.2 绝对湿度

绝对湿度（用 $a$ 表示）是指给定体积空气中水汽的质量，定义式如下：

$$a = \frac{m}{V}$$

其中，$m$ 为水汽质量，$V$ 为空气体积。

绝对湿度不能直接测量，需根据气温和水汽压来推算，在应用上没有水汽压方便。

7.5 露点变化和抬升凝结高度

7.5.1 露点温度

在空气中水汽含量不变，气压一定下，使空气冷却达到饱和时的温度，称露点温度，简称露点（用 $T_d$ 表示）。其单位与气温相同。当温度为 $T$，压强为 $p$ 时，相对湿度由下式给出：

$$\mathrm{RH} = \frac{w_s (在温度为T_d, 压强为 p时)}{w_s (在温度为T, 压强为 p时)} \times 100\%$$

在气压一定时，露点的高低只与空气中的水汽含量有关，水汽含量愈多，露点愈高，所以露点也是反映空气中水汽含量的物理量。

在实际大气中，空气经常处于未饱和状态，露点温度常比气温低（$T_d < T$）。因此，根据 $T$ 和 $T_d$ 的差值，可以大致判断空气距离饱和的程度。

在 T-lnP 图中，不同气压层的露点温度是由探空仪器测量出来的，把这些露点温度点连接起来便得到了露点温度曲线，简称露点曲线（即 7.3.2 节的 T-lnP 图中的左侧黑色实线，看起来非常崎岖）。

7.5.2 抬升凝结高度（LCL）

未饱和湿空气块被外力强迫抬升时，因为上升速度快，可以认为是绝热的，此时气块内的水汽压随着环境气压的减小而减小，与此对应，露点温度也降低。气块上升时的干绝热递减率远大于它的露点递减率，气块的温度和露点温度将逐渐接近，在某一高度达到饱和并发生凝结。这个湿空气块因绝热抬升而达到饱和的高度被称为抬升凝结高度（Lifting Condensation Level，LCL）。

因为水汽压 $e$ 为露点 $T_d$ 所对应的饱和水汽压，两者有函数关系，所以气块上升的露点变化可写为：

$$\frac{\mathrm{d} T_d}{\mathrm{d} z} = \frac{\mathrm{d} T_d}{\mathrm{d} e} \frac{\mathrm{d} e}{\mathrm{d} z}$$

现在以 $e$ 和 $T_d$ 代替克拉珀龙-克劳修斯方程中的 $e_s$ 和 $T$ 有：

$$\frac{\mathrm{d} e}{\mathrm{d} T_d} = \frac{L_we}{R_w T_d^2}$$

由水汽压的公式 $e = \chi_w p$ 取对数，再对高度求导数得：

$$\frac{1}{e} \frac{\mathrm{d} e}{\mathrm{d} z} = \frac{1}{p} \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}$$

将上两式代入到露点变化的式子得：

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} T_d}{\mathrm{d} z} &= \frac{e}{p} \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z} \bigg/ \frac{\mathrm{d} e}{\mathrm{d} T_d} \\ &= -\frac{g R_w}{L_w R_d} \frac{T_d^2}{T_v} \\ &\approx -6.3 \times 10^{-6} \frac{T_d^2}{T_v} \end{aligned}$$

若取 $T_d = 280 \mathrm{K}$，$T_v = 288 \mathrm{K}$，则 $\frac{\mathrm{d} T_d}{\mathrm{d} z} = -0.0017 \mathrm{K/m} = -1.7 \mathrm{K/km}$。因此，干绝热过程中露点以 $1.7 \mathrm{K/km}$ 的变化率向上递减。但气块温度以 $9.8 \mathrm{K/km}$ 递减，下降更快，在温度和露点温度相等的高度就会凝结。

令 $T_0$ 和 $T_{d0}$ 分别为地面温度和露点温度，所以有：

$$T(z) = T_0 - 0.98 \times 10^{-2} (z - z_0) \\ T_d(z) = T_{d0} - 0.17 \times 10^{-2} (z - z_0)$$

由以上两式可得抬升凝结高度的估算公式：

$$z_{LCL} = 123(T_0 - T_{d0})$$

上式可估算对流云底的高度，不过由于地面的温度露点差 $T_0 - T_{d0}$ 在一天中可变化几度，再加上气块垂直运动所做的绝热假定与实际情况有一定差距，这个公式有时与实际情况的差距很大。

7.6 两个例子理解湿度参数

7.6.1 往封闭空间加入水汽的例子

状态	空气总质量	水汽含量	比湿	温度	该温度下的饱和混合比	相对湿度
初始状态	1kg	5g	5g/kg	25℃	20g/kg	5/20 = 25%
增加 5g 水汽	1kg	10g	10g/kg	25℃	20g/kg	10/20 = 50%
增加 10g 水汽	1kg	20g	20g/kg	25℃	20g/kg	20/20 = 100%

7.6.2 将封闭空间降温的例子

状态	空气总质量	水汽含量	比湿	温度	该温度下的饱和混合比	相对湿度
初始状态	1kg	7g	7g/kg	20℃	14g/kg	7/14 = 50%
冷却到 10 ℃	1kg	7g	7g/kg	10℃	7g/kg	7/7 = 100%
冷却到 0 ℃	1kg	3.5g（凝结 3.5g 水）	3.5g/kg	0℃	3.5g/kg	3.5/3.5 = 100%

7.7 干球温度与湿球温度

干球温度（dry-bulb temperature）指的是暴露于空气中而又不受太阳直接照射的干球温度表上所读取的数值。干球温度是空气的真实温度，可直接用普通温度计测出，所以可认为干球温度就是我们生活中接触到的气温。

湿球温度（wet-bulb temperature）指的是当前环境仅通过蒸发水分所能达到的最低温度。湿球温度是标定空气相对湿度的一种手段。

干湿球湿度计是用于测量空气的相对湿度的，它由两只完全相同的温度计并排安装在一起组成。其中一只温度计是干的，称为干球温度计，用来测量干球温度（或空气温度）；另一只是在底部用浸满水的纱布包裹起来的温度计，称为湿球温度计，用来测量湿球温度。

干湿球湿度计是通过干湿球温差来测量空气的相对湿度的。因为水的蒸发量跟空气的湿度有关，所以，空气湿度越大，水蒸发量越小，带走的热量越少（冷却越不明显），干湿球温度差异越小；反之，空气湿度越小，水蒸发量越大，带走的热量越多（冷却越明显），干湿球温差也就越大。因而可以通过干湿球温差的变化规律来反映当前空气湿度状况。

干球温度、湿球温度和露点温度的关系如下：

• 对于未饱和空气：露点温度＜湿球温度＜干球温度
• 对于饱和空气：露点温度 = 湿球温度 = 干球温度