大气热力学（4）——流体静力学方程和压高方程

本篇文章源自我在 2021 年暑假自学大气物理相关知识时手写的笔记，现转化为电子版本以作存档。相较于手写笔记，电子版的部分内容有补充和修改。笔记内容大部分为公式的推导过程。

目录

• 4.1 流体静力学方程
• 4.2 重力位势
• 4.3 压高方程

4.1 流体静力学方程

假设大气相对于地面处于静止状态，考虑一个具有单位水平横截面积的垂直空气柱，气柱内处于高度 $z$ 与 $z + \delta z$ 之间的空气质量为 $\rho \delta z$，其中 $\rho$ 是高度 $z$ 处的密度。作用于此空气柱的向下的重力是 $g \rho \delta z$，其中 $g$ 是高度 $z$ 处的重力加速度。

现在考虑由于周围空气压强而造成的作用于高度 $z$ 和 $z + \delta z$ 之间的空气薄片上净的垂直方向上的力。假设从高度 $z$ 和 $z + \delta z$ 的压强变化值为 $\delta p$，因为压强是随高度而减小的，所以 $\delta p < 0$。在静力平衡条件下有：

$$-\delta p = g \rho \delta z$$

或：

$$g \delta z = -\frac{\delta p}{\rho} = - \alpha \delta p$$

式中，$\alpha = \frac{1}{\rho}$ 为气体比容，即 1kg 气体在压强为 $p$、温度为 $T$ 时所占的体积。

若 $\delta z \rightarrow 0$，则上式可写为：

$$\frac{\partial p}{\partial z} = -g \rho$$

上式被称为流体静力学方程。为什么左边需要写成偏微分形式呢？因为重力加速度 $g$ 和空气密度 $\rho$ 都随高度 $z$ 变化而变化，即 $g = g(z)，\rho = \rho (z)$。另外，$\frac{\partial p}{\partial z}$ 称为铅直气压梯度或单位高度气压差，它表示每升高 1 个单位高度所降低的气压值。

我们将气体状态方程 $\rho = \frac{p}{R_d T_v}$ 代入上式可得：

$$\frac{\partial p}{\partial z} = - \frac{gp}{R_d T_v}$$

实际工作中还经常使用气压高度差（h），它表示在铅直气柱中气压每改变一个单位所对应的高度变化值。显然它是铅直气压梯度的倒数，即：

$$h = \frac{R_d T}{gp}$$

将 $R_d$ 的值代入，将平均重力加速度 $g_0 = 9.81 \ \mathrm{m/s^2}$ 代入到 $g$，并将 $T$ 转换为摄氏温标 $t$ 得：

$$h = \frac{8000}{p} (1 + t / 273) (\mathrm{m/hpa})$$

由上式可知：

• 在同一气压下：气柱的温度越高，空气密度越小，气压随高度递减得越缓慢，单位气压高度差越大；反之，气柱的温度越低，单位气压高度差越小。
• 在同一气温下：气压值越大的地方，空气密度越大，气压随高度递减得越快，单位气压高度差越小；反之，气压值越大的地方，单位气压高度差越小。

4.2 重力位势

重力位势的定义：把 1kg 物质从海平面举到该点时克服地球重力场所做的功，用字母 $\Phi$ 表示，单位为 J/kg。定义式为：

$$\mathrm{d} \Phi = g \mathrm{d} z$$

于是，在高度 $z$ 处的重力位势可由下式给出：

$$\Phi (z) = \int_0^z g \mathrm{d} z$$

4.3 压高方程

通常，大气总处于静力平衡状态，当气层不太厚和要求精度不太高时，静力学方程可以用来粗略地估算气压与高度间的定量关系，或者用于将地面气压订正为海平面气压。如果研究的气层高度变化范围很大，气柱中上下层温度、密度变化显著时，该式就难以直接运用，就需采用适合于较大范围气压随高度变化的关系式，即压高方程。

流体静力学方程如下：

$$\frac{\partial p}{\partial z} = - \frac{gp}{R T}$$

对上式进行移项得：

$$\mathrm{d} \Phi = g \mathrm{d} z = - R T \frac{\mathrm{d}p}{p}$$

两边积分得：

$$\int_{\Phi_1}^{\Phi_2} \mathrm{d} \Phi = - \int_{p_1}^{p_2} R T \frac{\mathrm{d}p}{p}$$

左边积分出的重力位势之差与高度 $z$ 相关；右边需要注意，温度 $T$ 和气体常量 $R$ 是与 $p$ 相关的量，所以不能直接积分出来，把上式写为：

$$\Phi_2(z) - \Phi_1(z) = - \int_{p_1}^{p_2} RT \frac{\mathrm{d}p}{p}$$

上式被称为压高方程，但是直接用该式计算是比较困难的，因为式子中右边的 $T$ 和 $R$ 都随 $p$ 而变化，积分很困难；而左边的重力位势又随重力加速度而变化。为了方便实际应用，需要对方程作某些特定假设。这个假设为：

• 气体常数固定为干空气的气体常数 $R_d$；
• 忽略重力加速度的变化，固定为平均重力加速度 $g_0 = 9.81 \ \mathrm{m/s^2}$；
• 气温不随高度发生变化。

于是，左右两边同除以平均重力加速度 $g_0$ 可得：

$$\begin{aligned} Z_2 - Z_1 &= \frac{R_d T}{g_0} \int_{p_2}^{p_1} \frac{\mathrm{d}p}{p} \\ &= \frac{R_d T}{g_0} \ln \frac{p_1}{p_2} \end{aligned}$$

其中 $Z_2 - Z_1$ 表示高度差。可以看出，等温大气中，气压随高度仍是按指数规律递减的。将 $R_d$ 和 $g_0$ 代入上式，并将 $T$ 转换为摄氏温标 $t$ 得：

$$Z_2 - Z_1 = 18400 \cdot (1 + t/273) \ln \frac{p_1}{p_2}$$

上式就是气象学上常用的等温大气压高方程，实际大气并非等温大气，所以应用上式计算实际大气的厚度和高度时，必须将大气划分为许多薄层，求出每个薄层的温度 $t$ ，然后分别计算各薄层的厚度，最后把各薄层的厚度求和便是实际大气的厚度。

此外，上式中把重力加速度 $g$ 当成常数，实际上 $g$ 随纬度和高度而有变化，要求得精确的 $Z$ 值，还必须对 $g$ 作纬度和高度的订正。一般说，在大气低层 $g$ 随高度的变化不大，但将此式应用到 100km 以上的高层大气时，就必须考虑 $g$ 的变化。此外，上式是把大气当成干空气处理的，但当空气中水汽含量较多时，就必须用虚温代替式中的气温。