大气热力学（3）——干空气与湿空气

本篇文章源自我在 2021 年暑假自学大气物理相关知识时手写的笔记，现转化为电子版本以作存档。相较于手写笔记，电子版的部分内容有补充和修改。笔记内容大部分为公式的推导过程。

目录

• 3.0 本文所用符号一览
• 3.1 干空气与湿空气的概念
• 3.2 干空气的状态方程
• 3.3 湿空气的状态方程
  • 3.3.1 推导过程
  • 3.3.2 虚温

3.0 本文所用符号一览

物理量	符号	单位/值
压强	\(p\)	\(N \cdot m^2\)（Pa）
体积	\(V\)	\(\mathrm{m}^3\)
热力学温度	\(T\)	K
摩尔数 / 物质的量	\(n\)	mol
摩尔质量	\(M\)	kg/mol
摩尔体积	\(V_\mathrm{m}\)	L/mol
标准状态下 1 mol 理想气体体积	\(V_\mathrm{mol}\)	\(22.4 \times 10^{-3} \mathrm{m}^3\)
阿伏伽德罗常数	\(N_A\)	\(6.022 \times 10^{23} \mathrm{mol}^{-1}\)
分子总数	\(N\)	-

3.1 干空气与湿空气的概念

干空气和湿空气的概念：

• 干空气：又称为干洁空气，是指大气中除去水汽、液体和固体微粒以外的整个混合气体。
• 湿空气：是指含有水汽或湿度较大的空气。湿空气是由干空气和水蒸气混合而成，即可以简单理解为“湿空气 = 干空气 + 水汽”。

干洁空气是大气的主体，平均约占低层大气体积的 99.97%（水汽平均约 0.03%，杂质可忽略）；湿空气是干空气和水蒸气的混合物，由于水蒸气的分压力很低，所以湿空气可以作为理想气体混合物。

3.2 干空气的状态方程

在通常大气温度和压强条件下，干空气可近似视为理想气体，其遵从如下状态方程：

\[pV = \frac{m}{M} R^*T = nR^*T \]

其中 \(n\) 为物质的量（即摩尔数），普适（通用）气体常量 \(R^* = 8.31 \mathrm{J / (mol \cdot K)}\)，该值对 1mol 任何气体都适用（气象学里常用带星号的 \(R\) 表示普适气体常量）。上式也可以写为：

\[pV = \frac{m}{M} R^*T \]

这是通用的质量为 \(m\) 的理想气体状态方程，又称做门捷列夫-克拉珀龙方程。它表明气体在任何状态下，压强、体积、温度和质量 4 个量之间的关系。

在气象学中，常用单位体积的空气块作为研究对象，为此，常将上式中 4 个量的关系变为压强、温度和密度 3 个量间的关系，即：

\[p = \frac{m}{V} \frac{R^*}{M} T \]

令 \(\rho = \frac{m}{V}\) 为气体密度，\(R = \frac{R^*}{M}\) 为气体常数，则上式写为：

\[p = \rho R T \]

在气象学中我们常用这个公式。注意，普适（通用）气体常量 \(R^*\) 是一个常数，不会随气体的分子量变化而改变；而气体常数 \(R\) 与气体的种类和性质有关。

我们可以把干空气视为分子量为 28.97（即 \(M=28.97 \mathrm{kg/mol}\)）的单一成分的气体来处理，这样干空气的气体常数 \(R_d\) 为：

\[R_d = \frac{R^*}{M} = 0.287 \ \mathrm{J/(g \cdot K)} = 287.0 \ \mathrm{J/(kg \cdot K)} \]

所以可得干空气的状态方程为：

\[p = \rho_d R_d T \]

其中 \(\rho_d\) 为干气体密度。

3.3 湿空气的状态方程

3.3.1 推导过程

在实际大气中，尤其是在近地面气层中存在的总是含有水汽的湿空气。在常温常压下，湿空气仍然可以看成理想气体，因此也遵循如下方程：

\[p = \rho R T \]

现在我们来求湿空气的密度 \(\rho\)。因为湿空气是干空气和水汽的混合物，故湿空气的密度 \(\rho\) 是干空气密度 \(\rho_d\) 与水汽密度 \(\rho_w\) 之和，即：

\[\rho = \frac{m_d + m_w}{V} = \rho_d + \rho_w \]

如果以 \(p\) 表示湿空气的总压强，\(e\) 表示其中水汽部分的压强（即水汽压），由道尔顿分压定律可知，\(p-e\) 是干空气的压强。已知干空气的气体常数为 \(R_d\)，水汽的气体常数为 \(R_w\)，则我们可以利用状态方程计算出干空气密度和水汽密度：

\[\rho_d = \frac{p-e}{R_d T} \\ \rho_w = \frac{e}{R_w T} \]

干空气密度和水汽密度可以视为湿空气密度的分密度，由此得出湿空气的密度为：

\[\rho = \frac{p-e}{R_d T} + \frac{e}{R_w T} \]

水汽分子量 \(M_w = 18.0 \ \mathrm{kg/mol}\)，于是可得水汽的气体常数为 \(R_w = \frac{R^*}{M_w} = 0.4615 \ \mathrm{J/(kg \cdot K)}\)。由此可知：

\[R_w = 1.608 R_d \]

现在把上述关系式代入湿空气的密度表达式中：

\[\begin{aligned} \rho &= \frac{p-e}{R_d T} + \frac{e}{R_w T} \\ &= \frac{p-e}{R_d T} + \frac{e}{1.608 R_d T} \\ &= \frac{1.608(p-e) + e}{1.608 R_d T} \\ &= \frac{1.608p - 0.608e}{1.608 R_d T} \\ &= \frac{p}{R_d T} - 0.378 \frac{e}{R_d T} \\ &= \frac{p}{R_d T} (1 - 0.378 \frac{e}{p} ) \\ &= \frac{p \cdot [1 - (0.378 \frac{e}{p})^2 ] }{R_d T (1 + 0.378 \frac{e}{p} )} \\ & \approx \frac{p}{R_d T (1 + 0.378 \frac{e}{p} )} \end{aligned} \]

因此湿空气的状态方程为：

\[p = \rho R_d T (1 + 0.378 \frac{e}{p} ) \]

3.3.2 虚温

令 \(T_v = T (1 + 0.378 \frac{e}{p} )\)，这个物理量被称为虚温，由于虚温恒大于 1，因此虚温总是比湿空气的实际温度要高些。引入虚温后，湿空气的状态方程可写成：

\[p = \rho R_d T_v \]

虚温的物理意义是：在同一压强下，干空气密度等于湿空气密度时干空气应有的温度。由于在同温同压下，湿空气密度要比干空气密度要小，因此虚温始终比实际温度要高（但也仅仅只是高几摄氏度而已）。为说明这一点，计算虚温和实际温度之差如下：

\[\Delta T = T_v - T = 0.378 \frac{e}{p} \]

可见空气中水汽压 \(e\) 愈大，这一差值便愈大。在低层大气，尤其是在夏季，\(e\) 值较高，这时必须用湿空气状态方程，但在高空，\(e\) 值相对较小，因而 \(\Delta T\) 很小，这时便可用干空气状态方程，而不致造成大的误差。