定积分的几何应用

目录

• 1 原函数存在性和可积性
  • 1.1 函数可积的充分条件（判定条件）
  • 1.2 函数存在原函数的充分条件（判定条件）
  • 1.3 函数可积的必要条件（性质）
  • 1.4 变上限积分的性质
• 2 平面图形
  • 2.1 平面图形的面积
    • 2.1.1 直角坐标系下的平面图形的面积
    • 2.1.2 参数方程形式下的平面图形的面积
    • 2.1.3 极坐标系下的平面图形的面积
  • 2.2 平面图形的形心和质心
    • 2.2.1 平面图形的形心
    • 2.2.2 平面图形的质心
• 3 平面曲线
  • 3.1 平面曲线的曲率
    • 3.1.1 直角坐标系下的平面曲线的曲率
    • 3.1.2 直角坐标系下的平面曲线的曲率
  • 3.2 平面曲线的弧长
    • 3.2.1 直角坐标系下的平面图形的弧长
    • 3.2.2 参数方程形式下的平面图形的弧长
    • 3.2.3 极坐标系下的平面图形的弧长
  • 3.3 平面曲线的形心和质心
    • 3.3.1 平面曲线的形心
    • 3.3.2 平面曲线的质心
• 4 旋转体
  • 4.1 旋转体的体积
    • 4.1.1 万能公式
    • 4.1.2 曲线绕平行于 x 轴的直线所得旋转体的体积（切片法）
    • 4.1.3 曲线绕平行于 y 轴的直线所得旋转体的体积（柱壳法）
    • 4.1.4 典型例题（必看）
  • 4.2 旋转体的侧面积
    • 4.2.1 直角坐标系下的计算公式
    • 4.2.2 参数方程形式下的计算公式
    • 4.2.3 极坐标系下的计算公式

1 原函数存在性和可积性

1.1 函数可积的充分条件（判定条件）

• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 可积
• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上只有有限个第一类间断点，则 $f(x)$ 可积
• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，只有有限个间断点，则 $f(x)$ 可积
• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调有界，则 $f(x)$ 可积

1.2 函数存在原函数的充分条件（判定条件）

• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上存在原函数 $F(x)$
• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有第一类间断点，则 $f(x)$ 不存在原函数
• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有无穷间断点，则 $f(x)$ 不存在原函数

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的情况	原函数是否存在	是否可积
连续无间断	是，且为 $F(x) = \int^x_a f(t)dt$	是
可去间断点（有限个）	否	是
跳跃间断点（有限个）	否	是
无穷间断点	否	可能
振荡间断点	可能	可能

1.3 函数可积的必要条件（性质）

• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界
• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，$f(x) \geq 0$，则 $\int^b_a f(x)dx \geq 0$
• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，$f(x) > 0$，则 $\int^b_a f(x)dx > 0$
• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$f(x) \geq 0$ 且不恒等于 $0$，则 $\int^b_a f(x)dx > 0$

1.4 变上限积分的性质

设 $F(x) = \int^x_a f(t)dt, x \in [a,b]$，则有：

• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续
• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导
• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上 $k$ 阶可导，则 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上 $k+1$ 阶可导

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的情况	是否可积	面积 $F(x)$	$F(x)$ 是否为 $f(x)$ 的原函数	$F(x)$ 是否在 $x=x_0$ 连续	$F(x)$ 是否在 $x=x_0$ 可导
连续无间断	是	$F(x) = \int^x_a f(t)dt$	是	是	是
存在可去间断点 $x=x_0$	是	$F(x) = \int^x_a f(t)dt$	否	是	是
存在跳跃间断点 $x=x_0$	是	$F(x) = \begin{cases} \int^x_a f(t)dt, & x \leq x_0 \\ \int^{x_0}_a f(t)dt + \int^x_{x_0} f(t)dt, & x > x_0 \end{cases}$	否	是	否

2 平面图形

2.1 平面图形的面积

2.1.1 直角坐标系下的平面图形的面积

当 $f(x) \geq g(x), x \in [a,b]$ 时，所围面积为

$$S = \iint \limits_{D} dxdy = \int^b_a dx \int^{f(x)}_{g(x)} dy = \int^b_a [f(x)-g(x)] dx$$

2.1.2 参数方程形式下的平面图形的面积

设曲线方程 $y=f(x), x \in [a,b]$ 由参数方程 $\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases}, t \in [\alpha,\beta]$ 确定，则所围曲边梯形的面积为

$$S = \iint \limits_{D} dxdy = \int^b_a dx \int^{f(x)}_{0} dy = \int^b_a f(x) dx = \int^{\beta}_{\alpha} y(t) x'(t) dt$$

2.1.3 极坐标系下的平面图形的面积

当 $r_2(\theta) \geq r_1(\theta), \theta \in [\alpha,\beta]$ 时，所围面积为

$$S = \iint \limits_{D} dxdy = \iint \limits_{D} rdrd\theta = \int^{\beta}_{\alpha} d\theta \int^{r_2(\theta)}_{r_1(\theta)} rdr = \frac{1}{2} \int^{\beta}_{\alpha} [r_2^2(\theta)-r_1^2(\theta)] d\theta$$

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极坐标方程的角度定限问题

【$k$ 叶玫瑰线】极坐标下的形式为 $r = a\sin k \theta$ 或 $r = a\cos k \theta$。参数为 $k$ 的玫瑰线，在 $[0,2\pi]$ 上会形成 $2k$ 个花瓣，其中 $k$ 个极径为正，$k$ 个极径为负。当 $k$ 为奇数时，$k$ 个正极径花瓣和 $k$ 个负极径花瓣两两重叠，实际只有 $k$ 个花瓣，此时可认为极径永为正。

【例 1】求 $r=\sin 3 \theta$ 所围面积。

【解】注意有 $\theta \in [0, 2\pi] \Rightarrow 3\theta \in [0, 6\pi]$。

因为 $r = \sin 3 \theta \geq 0$，所以有 $3\theta \in [0, \pi] \cup [2\pi, 3\pi] \cup [4\pi, 5\pi]$，即 $\theta \in [0, \frac{\pi}{3}] \cup [\frac{2\pi}{3},\pi] \cup [\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}]$。

注意 k 为奇数，因此只需考虑极径为正的情况即可，所以面积为

$$S = (\int^{\frac{\pi}{3}}_{0} + \int^{\pi}_{\frac{2\pi}{3}} + \int^{\frac{5\pi}{3}}_{\frac{4\pi}{3}}) d\theta \int^{\sin 3 \theta}_0 rdr = 3 \int^{\frac{\pi}{3}}_{0} d\theta \int^{\sin 3 \theta}_0 rdr$$

【例 2】求 $r= \sin 2 \theta$ 所围面积。

【解】注意有 $\theta \in [0, 2\pi] \Rightarrow 2\theta \in [0, 4\pi]$。

因为 $r = \sin 2 \theta \geq 0$，所以有 $2\theta \in [0, \pi] \cup [2\pi, 3\pi]$，即 $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}] \cup [\pi, \frac{3\pi}{2}]$。

注意 k 为偶数，而这里只考察了极径为正的情况，所以面积还需要乘以 2，如下

$$S = 2(\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} + \int^{\pi}_{\frac{3\pi}{2}}) d\theta \int^{\sin 2 \theta}_0 rdr = 4 \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} d\theta \int^{\sin 2 \theta}_0 rdr$$

【例 3】求 $r=\cos 2 \theta$ 所围面积。

【解】注意有 $\theta \in [0, 2\pi] \Rightarrow 2\theta \in [0, 4\pi]$。

当 $r = \cos 2 \theta \geq 0$ 时，有 $2\theta \in [0, \frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}] \cup [\frac{7\pi}{2}, 2\pi]$，即 $\theta \in [0, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}] \cup [\frac{7\pi}{4}, 2\pi]$。

注意 k 为偶数，而这里只考察了极径为正的情况，所以面积还需要乘以 2，如下

$$S = 2(\int^{\frac{\pi}{4}}_{0} + \int^{\frac{5\pi}{4}}_{\frac{3\pi}{4}} + \int^{2\pi}_{\frac{7\pi}{4}}) d\theta \int^{\cos 2 \theta}_0 rdr = 8 \int^{\frac{\pi}{4}}_{0} d\theta \int^{\cos 2 \theta}_0 rdr$$

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【双纽线】极坐标形式为 $r^2 = a^2 \sin 2\theta$ 或 $r^2 = a^2 \cos 2\theta$。

【例 4】求 $r^2= \sin 2 \theta$ 所围面积。

【解】注意有 $\theta \in [0, 2\pi] \Rightarrow 2\theta \in [0, 4\pi]$。

因为 $r^2 = \sin 2 \theta \geq 0$，所以有 $2\theta \in [0, \pi] \cup [2\pi, 3\pi]$，即 $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}] \cup [\pi, \frac{3\pi}{2}]$。

极径必为正，所以面积为

$$S = (\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} + \int^{\frac{3\pi}{2}}_{\pi}) d\theta \int^{\sqrt{\sin 2 \theta}}_0 rdr = 2 \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} d\theta \int^{\sqrt{\sin 2 \theta}}_0 rdr$$

【例 5】求 $r^2= \cos 2 \theta$ 所围面积。

【解】注意有 $\theta \in [0, 2\pi] \Rightarrow 2\theta \in [0, 4\pi]$。

因为 $r^2 = \cos 2 \theta \geq 0$，所以有 $2\theta \in [0, \frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}] \cup [\frac{7\pi}{2}, 2\pi]$，即 $\theta \in [0, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}] \cup [\frac{7\pi}{4}, 2\pi]$。

极径必为正，所以面积为

$$S = (\int^{\frac{\pi}{4}}_{0} + \int^{\frac{5\pi}{4}}_{\frac{3\pi}{4}} + \int^{2\pi}_{\frac{7\pi}{4}}) d\theta \int^{\sqrt{\cos 2 \theta}}_0 rdr = 4 \int^{\frac{\pi}{4}}_{0} d\theta \int^{\sqrt{\cos 2 \theta}}_0 rdr$$

2.2 平面图形的形心和质心

2.2.1 平面图形的形心

设 $D$ 由 $f(x) \geq g(x), x \in [a,b]$ 所围，则形心 $(\bar x, \bar y)$ 为

$$\begin{aligned} & \bar x=\frac{\iint \limits_{D} x dxdy}{\iint \limits_{D} dxdy} = \frac{\int^b_a x[f(x)-g(x)] dx}{\int^b_a [f(x)-g(x)] dx} \\ & \bar y=\frac{\iint \limits_{D} y dxdy}{\iint \limits_{D} dxdy} = \frac{ \frac{1}{2} \int^b_a [f^2(x)-g^2(x)] dx}{\int^b_a [f(x)-g(x)] dx} \end{aligned}$$

2.2.2 平面图形的质心

设 $D$ 由 $f(x) \geq g(x), x \in [a,b]$ 所围，面密度为 $\rho(x,y)$，则质心 $(\bar x, \bar y)$ 为

$$\begin{aligned} & \bar x=\frac{\iint \limits_{D} x\rho(x,y) dxdy}{\iint \limits_{D} \rho(x,y) dxdy} \\ & \bar y=\frac{\iint \limits_{D} y\rho(x,y) dxdy}{\iint \limits_{D} \rho(x,y) dxdy} \end{aligned}$$

3 平面曲线

3.1 平面曲线的曲率

3.1.1 直角坐标系下的平面曲线的曲率

设曲线方程为 $y=y(x)$，$y(x)$ 二阶可导，则曲线的曲率和曲率半径分别为

$$K = \frac{|y''|}{\sqrt{(1+y'^2)^3}}, R=\frac{1}{K}$$

3.1.2 直角坐标系下的平面曲线的曲率

设曲线方程 $y=f(x), x \in [a,b]$ 由参数方程 $\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases}, t \in [\alpha,\beta]$ 确定，则曲线的曲率和曲率半径分别为

$$K = \frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{\sqrt{[x'^2(t)+y'^2(t)]^3}}, R=\frac{1}{K}$$

3.2 平面曲线的弧长

3.2.1 直角坐标系下的平面图形的弧长

设曲线方程为 $y=y(x), x \in [a,b]$，则弧微分和弧长分别为

$$\begin{aligned} & ds = \sqrt{1+f'^2(x)} dx \\ & s = \int^b_a ds = \int^b_a \sqrt{1+f'^2(x)} dx \\ \end{aligned}$$

3.2.2 参数方程形式下的平面图形的弧长

设曲线方程 $y=f(x), x \in [a,b]$ 由参数方程 $\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases}, t \in [\alpha,\beta]$ 确定，则弧微分和弧长分别为

$$\begin{aligned} & ds = \sqrt{1 + \left( \frac{y'(t)}{x'(t)} \right)^2 } d[x(t)] = \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)} dt \\ & s = \int^{\beta}_{\alpha} ds = \int^{\beta}_{\alpha} \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)} dt \\ \end{aligned}$$

3.2.3 极坐标系下的平面图形的弧长

设平面曲线由极坐标方程 $r=r(\theta), \theta \in [\alpha,\beta]$ 确定，则可先转化为参数方程形式

$$\begin{cases} x(\theta) = r(\theta) \cos \theta \\ y(\theta) = r(\theta) \sin \theta \end{cases}$$

此时参数方程形式下的弧微分和弧长为

$$\begin{aligned} & ds = \sqrt{1 + \left( \frac{y'(\theta)}{x'(\theta)} \right)^2 } d[x(\theta)] = \sqrt{x'^2(\theta)+y'^2(\theta)} d\theta = \sqrt{r'^2(\theta)+r^2(\theta)} d\theta \\ & s = \int^{\beta}_{\alpha} ds = \int^{\beta}_{\alpha} \sqrt{r'^2(\theta)+r^2(\theta)} d\theta \\ \end{aligned}$$

3.3 平面曲线的形心和质心

3.3.1 平面曲线的形心

（1）x 轴区间 $[a,b]$ 上的形心为

$$\bar x=\frac{\int^b_a x dx}{\int^b_a dx} = \frac{a+b}{2}$$

（2）设曲线由参数方程 $\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases}, t \in [\alpha,\beta]$ 确定，则平面曲线的形心 $(\bar x, \bar y)$ 为

$$\bar x = \frac{\int^{\beta}_{\alpha} x(t) ds}{\int^{\beta}_{\alpha} ds} = \frac{\int^{\beta}_{\alpha} x(t) \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)} dt}{\int^{\beta}_{\alpha} \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)} dt} \\ \bar y = \frac{\int^{\beta}_{\alpha} y(t) ds}{\int^{\beta}_{\alpha} ds} = \frac{\int^{\beta}_{\alpha} y(t) \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)} dt}{\int^{\beta}_{\alpha} \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t)} dt}$$

3.3.2 平面曲线的质心

设线密度为 $\rho(x)$，则 x 轴区间 $[a,b]$ 上的形心为

$$\bar x=\frac{\int^b_a x \rho(x) dx}{\int^b_a \rho(x) dx}$$

4 旋转体

4.1 旋转体的体积

4.1.1 万能公式

设曲线方程为 $y=f(x), x \in [a,b]$，旋转轴方程为 $Ax+By+C=0$，则曲线绕旋转轴所成体积为

$$V = 2 \pi \iint \limits_{D} r(x,y) dxdy = 2 \pi \iint \limits_{D} \frac{|Ax+Bf(x)+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} dxdy$$

4.1.2 曲线绕平行于 x 轴的直线所得旋转体的体积（切片法）

设曲线方程为 $y=f(x), x \in [a,b]$ 和 $y=g(x), x \in [a,b]$，且 $f(x) \geq g(x)$。

（1）设 $D$ 由曲线方程 $y=f(x), x=a, x=b$，x 轴（$y=0$）所围，则 $D$ 绕 x 轴（$y=0$）所得旋转体的体积为

$$V = 2 \pi \iint \limits_{D} |y| dxdy = 2\pi \int^b_a dx \int^{f(x)}_0 |y| dy = \pi \int^b_a |f(x)|^2 dx$$

（2）设 $D$ 由曲线方程 $y=f(x), x=a, x=b$，$y=k$ 所围，则 $D$ 绕 $y=k$ 所得旋转体的体积为

$$V = 2 \pi \iint \limits_{D} |y| dxdy = 2\pi \int^b_a dx \int^{f(x)}_0 |y-k| dy = \pi \int^b_a |f(x)-k|^2 dx$$

（3）设 $D$ 由曲线方程 $y=f(x), y=g(x), x=a, x=b$，x 轴（$y=0$）所围，则 $D$ 绕 x 轴（$y=0$）所得旋转体的体积为

$$V = 2 \pi \iint \limits_{D} |y| dxdy = 2\pi \int^b_a dx \int^{f(x)}_{g(x)} |y| dy = \pi \int^b_a [f^2(x)-g^2(x)] dx$$

（4）设 $D$ 由曲线方程 $y=f(x), y=g(x), x=a, x=b$ 所围，则 $D$ 绕 $y=k(k \geq f(x) 或 k \leq g(x))$ 所得旋转体的体积为

$$V = 2 \pi \iint \limits_{D} |y| dxdy = 2\pi \int^b_a dx \int^{f(x)}_{g(x)} |y-k| dy = \pi \int^b_a \bigg( [f(x)-k]^2 - [g(x)-k]^2 \bigg) dx$$

4.1.3 曲线绕平行于 y 轴的直线所得旋转体的体积（柱壳法）

设曲线方程为 $y=f(x), x \in [a,b]$ 和 $y=g(x), x \in [a,b]$，且 $f(x) \geq g(x)$。

（1）设 $D$ 由曲线方程 $y=f(x), x=a, x=b$，x 轴（$y=0$）所围，则 $D$ 绕 y 轴（$x=0$）所得旋转体的体积为

$$V = 2 \pi \iint \limits_{D} |x| dxdy = 2\pi \int^b_a dx \int^{f(x)}_0 |x| dy = 2\pi \int^b_a |xf(x)| dx$$

（2）设 $D$ 由曲线方程 $y=f(x), x=a, x=b$，x 轴（$y=0$）所围，则 $D$ 绕 $x=k$ 所得旋转体的体积为

$$V = 2 \pi \iint \limits_{D} |y| dxdy = 2\pi \int^b_a dx \int^{f(x)}_0 |x-k| dy = 2\pi \int^b_a |x-k| \cdot |f(x)| dx$$

（3）设 $D$ 由曲线方程 $y=f(x), y=g(x), x=a, x=b$ 所围，则 $D$ 绕 y 轴（$x=0$）所得旋转体的体积为

$$V = 2 \pi \iint \limits_{D} |x| dxdy = 2\pi \int^b_a dx \int^{f(x)}_{g(x)} |x| dy = 2\pi \int^b_a |x| \cdot [f(x)-g(x)] dx$$

（4）设 $D$ 由曲线方程 $y=f(x), y=g(x), x=a, x=b$ 所围，则 $D$ 绕 $x=k(k \geq b 或 k \leq a)$ 所得旋转体的体积为

$$V = 2 \pi \iint \limits_{D} |y| dxdy = 2\pi \int^b_a dx \int^{f(x)}_{g(x)} |x-k| dy = 2\pi \int^b_a |x-k| \cdot [f(x)-g(x)] dx$$

4.1.4 典型例题（必看）

【例 1】区域 $D$ 由曲线方程 $y=\sin x, y=0, y=\frac{\pi}{2}$ 所围，求 $D$ 绕 x 轴和 y 轴旋转所得旋转体的体积 $V_x$ 和 $V_y$。

【解】（1）$D$ 绕 x 轴所得旋转体的体积为

$$V_x = 2 \pi \iint \limits_{D} y dxdy = 2\pi \int^{\frac{\pi}{2}}_0 dx \int^{\sin x}_0 y dy = \pi \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^2 x dx = \frac{\pi^2}{4}$$

（2）$D$ 绕 y 轴所得旋转体的体积为

$$V_y = 2 \pi \iint \limits_{D} x dxdy = 2\pi \int^{\frac{\pi}{2}}_0 dx \int^{\sin x}_0 x dy = 2\pi \int^{\frac{\pi}{2}}_0 x\sin x dx = 2\pi$$

以上方法是基于纵向分割的微元，即先 $dy$，后 $dx$，采用柱壳法。也可基于横向分割的微元，采用切片法，先 $dx$，后 $dy$，如下

$$\begin{aligned} V_y &= 2\pi \int^1_0 dy \int^{\frac{\pi}{2}}_{\arcsin y} x dx \\ &= \frac{\pi^3}{4} - \pi (\frac{\pi^2}{4} - 2) = 2\pi \\ \end{aligned}$$

【例 2】设摆线 $\begin{cases} x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t) \end{cases}(t \in [0, 2\pi], a>0)$ 与 x 轴所围平面图形为 $D$。

（1）求 $D$ 绕 x 轴和 y 轴所得旋转体的体积；

（2）求 $D$ 绕直线 $y=2a$ 所得旋转体的体积。

【解】（1）$D$ 绕 x 轴所得旋转体的体积为

$$\begin{aligned} V_x &= 2 \pi \iint \limits_{D} y dxdy = 2\pi \int^{2\pi a}_0 dx \int^{f(x)}_0 y dy = \pi \int^{2\pi a}_0 f^2(x) dx \\ &= \pi \int^{2\pi}_0 y^2(t) d[x(t)] = \pi \int^{2\pi}_0 y^2(t) x'(t) dt = 5\pi^2 a^3 \end{aligned}$$

$D$ 绕 y 轴所得旋转体的体积为

$$\begin{aligned} V_y &= 2 \pi \iint \limits_{D} x dxdy = 2\pi \int^{2\pi a}_0 dx \int^{f(x)}_0 x dy = \pi \int^{2\pi a}_0 xf(x) dx \\ &= \pi \int^{2\pi}_0 x(t) y(t) d[x(t)] = \pi \int^{2\pi}_0 x(t) y(t) x'(t) dt = 6\pi^3 a^3 \end{aligned}$$

（2）$D$ 绕直线 $y=2a$ 所得旋转体的体积为

$$\begin{aligned} V_{y=2a} &= 2\pi \int^{2\pi a}_0 dx \int^{f(x)}_{0} (2a-y) dy \\ & = - \pi \int^{2\pi a}_0 \bigg( [2a-f(x)]^2 - (2a)^2 \bigg) dx \\ &= 8\pi^2 a^3 - \pi \int^{2\pi}_0 [2a-x(t)]^2 d[x(t)] \\ &= 8\pi^2 a^3 - \pi \int^{2\pi}_0 [2a-x(t)]^2 x'(t) dt = 7\pi^2 a^3 \end{aligned}$$

【例 3】设心形线 $r=4(1+\cos \theta)$ 与 $\theta = 0, \theta = \frac{\pi}{2}$ 所围图形为 $D$，求 $D$ 绕极轴旋转一周所得旋转体的体积。

【解】先将极坐标方程写成参数方程

$$\begin{cases} x(\theta) = 4(1+\cos \theta) \cos \theta \\ y(\theta) = 4(1+\cos \theta) \sin \theta \end{cases}$$

因此 $D$ 绕 x 轴所得旋转体的体积为

$$\begin{aligned} V_x &= 2 \pi \iint \limits_{D} y dxdy = 2\pi \int^8_0 dx \int^{f(x)}_0 y dy = \pi \int^8_0 f^2(x) dx \\ &= \pi \int^0_{\frac{\pi}{2}} y^2(\theta) d[x(\theta)] = \pi \int^0_{\frac{\pi}{2}} y^2(\theta) x'(\theta) d\theta = 160\pi \end{aligned}$$

4.2 旋转体的侧面积

4.2.1 直角坐标系下的计算公式

（1）设 $D$ 由曲线方程 $y=f(x), x=a, x=b$，x 轴所围，则 $D$ 绕 x 轴所得旋转体的侧面积为

$$S = 2\pi \int^b_a |f(x)| ds = 2\pi \int^b_a |f(x)| \sqrt{1+f'^2(x)} dx$$

（2）设 $D$ 由曲线方程 $y=f(x), x=a, x=b$，x 轴所围，则 $D$ 绕 $L: Ax+By+C=0$ 所得旋转体的侧面积为

$$S = 2\pi \int^b_a r(x,y) ds = 2\pi \int^b_a \frac{|Ax+Bf(x)+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \sqrt{1+f'^2(x)} dx$$

4.2.2 参数方程形式下的计算公式

设曲线方程 $y=f(x), x \in [a,b]$ 由参数方程 $\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases}, t \in [\alpha, \beta]$ 确定，$D$ 由曲线方程 $y=f(x), x=a, x=b$，x 轴所围，则 $D$ 绕 x 轴所得旋转体的侧面积为

$$S = 2\pi \int^b_a |f(x)| ds = 2\pi \int^{\beta}_{\alpha} |y(t)| \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)} dt$$

4.2.3 极坐标系下的计算公式

设平面曲线由极坐标方程 $r=r(\theta), \theta \in [\alpha,\beta]$ 确定，则可先转化为参数方程形式

$$\begin{cases} x(\theta) = r(\theta) \cos \theta \\ y(\theta) = r(\theta) \sin \theta \end{cases}$$

则 $D$ 绕 x 轴所得旋转体的侧面积为

$$S = 2\pi \int^b_a |f(x)| ds = 2\pi \int^{\beta}_{\alpha} |r(\theta) \sin \theta| \sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)} d\theta$$