定积分的几何应用
1 原函数存在性和可积性
1.1 函数可积的充分条件(判定条件)
- 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续,则 \(f(x)\) 可积
- 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上只有有限个第一类间断点,则 \(f(x)\) 可积
- 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界,只有有限个间断点,则 \(f(x)\) 可积
- 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上单调有界,则 \(f(x)\) 可积
1.2 函数存在原函数的充分条件(判定条件)
- 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续,则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上存在原函数 \(F(x)\)
- 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有第一类间断点,则 \(f(x)\) 不存在原函数
- 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有无穷间断点,则 \(f(x)\) 不存在原函数
\(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的情况 | 原函数是否存在 | 是否可积 |
---|---|---|
连续无间断 | 是,且为 \(F(x) = \int^x_a f(t)dt\) | 是 |
可去间断点(有限个) | 否 | 是 |
跳跃间断点(有限个) | 否 | 是 |
无穷间断点 | 否 | 可能 |
振荡间断点 | 可能 | 可能 |
1.3 函数可积的必要条件(性质)
- 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积,则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界
- 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积,\(f(x) \geq 0\),则 \(\int^b_a f(x)dx \geq 0\)
- 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积,\(f(x) > 0\),则 \(\int^b_a f(x)dx > 0\)
- 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续,\(f(x) \geq 0\) 且不恒等于 \(0\),则 \(\int^b_a f(x)dx > 0\)
1.4 变上限积分的性质
设 \(F(x) = \int^x_a f(t)dt, x \in [a,b]\),则有:
- 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积,则 \(F(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续
- 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续,则 \(F(x)\) 在 \([a,b]\) 上可导
- 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上 \(k\) 阶可导,则 \(F(x)\) 在 \([a,b]\) 上 \(k+1\) 阶可导
\(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的情况 | 是否可积 | 面积 \(F(x)\) | \(F(x)\) 是否为 \(f(x)\) 的原函数 | \(F(x)\) 是否在 \(x=x_0\) 连续 | \(F(x)\) 是否在 \(x=x_0\) 可导 |
---|---|---|---|---|---|
连续无间断 | 是 | \(F(x) = \int^x_a f(t)dt\) | 是 | 是 | 是 |
存在可去间断点 \(x=x_0\) | 是 | \(F(x) = \int^x_a f(t)dt\) | 否 | 是 | 是 |
存在跳跃间断点 \(x=x_0\) | 是 | \(F(x) = \begin{cases} \int^x_a f(t)dt, & x \leq x_0 \\ \int^{x_0}_a f(t)dt + \int^x_{x_0} f(t)dt, & x > x_0 \end{cases}\) | 否 | 是 | 否 |
2 平面图形
2.1 平面图形的面积
2.1.1 直角坐标系下的平面图形的面积
当 \(f(x) \geq g(x), x \in [a,b]\) 时,所围面积为
2.1.2 参数方程形式下的平面图形的面积
设曲线方程 \(y=f(x), x \in [a,b]\) 由参数方程 \(\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases}, t \in [\alpha,\beta]\) 确定,则所围曲边梯形的面积为
2.1.3 极坐标系下的平面图形的面积
当 \(r_2(\theta) \geq r_1(\theta), \theta \in [\alpha,\beta]\) 时,所围面积为
极坐标方程的角度定限问题
【\(k\) 叶玫瑰线】极坐标下的形式为 \(r = a\sin k \theta\) 或 \(r = a\cos k \theta\)。参数为 \(k\) 的玫瑰线,在 \([0,2\pi]\) 上会形成 \(2k\) 个花瓣,其中 \(k\) 个极径为正,\(k\) 个极径为负。当 \(k\) 为奇数时,\(k\) 个正极径花瓣和 \(k\) 个负极径花瓣两两重叠,实际只有 \(k\) 个花瓣,此时可认为极径永为正。
【例 1】求 \(r=\sin 3 \theta\) 所围面积。
【解】注意有 \(\theta \in [0, 2\pi] \Rightarrow 3\theta \in [0, 6\pi]\)。
因为 \(r = \sin 3 \theta \geq 0\),所以有 \(3\theta \in [0, \pi] \cup [2\pi, 3\pi] \cup [4\pi, 5\pi]\),即 \(\theta \in [0, \frac{\pi}{3}] \cup [\frac{2\pi}{3},\pi] \cup [\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}]\)。
注意 k 为奇数,因此只需考虑极径为正的情况即可,所以面积为
【例 2】求 \(r= \sin 2 \theta\) 所围面积。
【解】注意有 \(\theta \in [0, 2\pi] \Rightarrow 2\theta \in [0, 4\pi]\)。
因为 \(r = \sin 2 \theta \geq 0\),所以有 \(2\theta \in [0, \pi] \cup [2\pi, 3\pi]\),即 \(\theta \in [0, \frac{\pi}{2}] \cup [\pi, \frac{3\pi}{2}]\)。
注意 k 为偶数,而这里只考察了极径为正的情况,所以面积还需要乘以 2,如下
【例 3】求 \(r=\cos 2 \theta\) 所围面积。
【解】注意有 \(\theta \in [0, 2\pi] \Rightarrow 2\theta \in [0, 4\pi]\)。
当 \(r = \cos 2 \theta \geq 0\) 时,有 \(2\theta \in [0, \frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}] \cup [\frac{7\pi}{2}, 2\pi]\),即 \(\theta \in [0, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}] \cup [\frac{7\pi}{4}, 2\pi]\)。
注意 k 为偶数,而这里只考察了极径为正的情况,所以面积还需要乘以 2,如下
【双纽线】极坐标形式为 \(r^2 = a^2 \sin 2\theta\) 或 \(r^2 = a^2 \cos 2\theta\)。
【例 4】求 \(r^2= \sin 2 \theta\) 所围面积。
【解】注意有 \(\theta \in [0, 2\pi] \Rightarrow 2\theta \in [0, 4\pi]\)。
因为 \(r^2 = \sin 2 \theta \geq 0\),所以有 \(2\theta \in [0, \pi] \cup [2\pi, 3\pi]\),即 \(\theta \in [0, \frac{\pi}{2}] \cup [\pi, \frac{3\pi}{2}]\)。
极径必为正,所以面积为
【例 5】求 \(r^2= \cos 2 \theta\) 所围面积。
【解】注意有 \(\theta \in [0, 2\pi] \Rightarrow 2\theta \in [0, 4\pi]\)。
因为 \(r^2 = \cos 2 \theta \geq 0\),所以有 \(2\theta \in [0, \frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}] \cup [\frac{7\pi}{2}, 2\pi]\),即 \(\theta \in [0, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}] \cup [\frac{7\pi}{4}, 2\pi]\)。
极径必为正,所以面积为
2.2 平面图形的形心和质心
2.2.1 平面图形的形心
设 \(D\) 由 \(f(x) \geq g(x), x \in [a,b]\) 所围,则形心 \((\bar x, \bar y)\) 为
2.2.2 平面图形的质心
设 \(D\) 由 \(f(x) \geq g(x), x \in [a,b]\) 所围,面密度为 \(\rho(x,y)\),则质心 \((\bar x, \bar y)\) 为
3 平面曲线
3.1 平面曲线的曲率
3.1.1 直角坐标系下的平面曲线的曲率
设曲线方程为 \(y=y(x)\),\(y(x)\) 二阶可导,则曲线的曲率和曲率半径分别为
3.1.2 直角坐标系下的平面曲线的曲率
设曲线方程 \(y=f(x), x \in [a,b]\) 由参数方程 \(\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases}, t \in [\alpha,\beta]\) 确定,则曲线的曲率和曲率半径分别为
3.2 平面曲线的弧长
3.2.1 直角坐标系下的平面图形的弧长
设曲线方程为 \(y=y(x), x \in [a,b]\),则弧微分和弧长分别为
3.2.2 参数方程形式下的平面图形的弧长
设曲线方程 \(y=f(x), x \in [a,b]\) 由参数方程 \(\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases}, t \in [\alpha,\beta]\) 确定,则弧微分和弧长分别为
3.2.3 极坐标系下的平面图形的弧长
设平面曲线由极坐标方程 \(r=r(\theta), \theta \in [\alpha,\beta]\) 确定,则可先转化为参数方程形式
此时参数方程形式下的弧微分和弧长为
3.3 平面曲线的形心和质心
3.3.1 平面曲线的形心
(1)x 轴区间 \([a,b]\) 上的形心为
(2)设曲线由参数方程 \(\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases}, t \in [\alpha,\beta]\) 确定,则平面曲线的形心 \((\bar x, \bar y)\) 为
3.3.2 平面曲线的质心
设线密度为 \(\rho(x)\),则 x 轴区间 \([a,b]\) 上的形心为
4 旋转体
4.1 旋转体的体积
4.1.1 万能公式
设曲线方程为 \(y=f(x), x \in [a,b]\),旋转轴方程为 \(Ax+By+C=0\),则曲线绕旋转轴所成体积为
4.1.2 曲线绕平行于 x 轴的直线所得旋转体的体积(切片法)
设曲线方程为 \(y=f(x), x \in [a,b]\) 和 \(y=g(x), x \in [a,b]\),且 \(f(x) \geq g(x)\)。
(1)设 \(D\) 由曲线方程 \(y=f(x), x=a, x=b\),x 轴(\(y=0\))所围,则 \(D\) 绕 x 轴(\(y=0\))所得旋转体的体积为
(2)设 \(D\) 由曲线方程 \(y=f(x), x=a, x=b\),\(y=k\) 所围,则 \(D\) 绕 \(y=k\) 所得旋转体的体积为
(3)设 \(D\) 由曲线方程 \(y=f(x), y=g(x), x=a, x=b\),x 轴(\(y=0\))所围,则 \(D\) 绕 x 轴(\(y=0\))所得旋转体的体积为
(4)设 \(D\) 由曲线方程 \(y=f(x), y=g(x), x=a, x=b\) 所围,则 \(D\) 绕 \(y=k(k \geq f(x) 或 k \leq g(x))\) 所得旋转体的体积为
4.1.3 曲线绕平行于 y 轴的直线所得旋转体的体积(柱壳法)
设曲线方程为 \(y=f(x), x \in [a,b]\) 和 \(y=g(x), x \in [a,b]\),且 \(f(x) \geq g(x)\)。
(1)设 \(D\) 由曲线方程 \(y=f(x), x=a, x=b\),x 轴(\(y=0\))所围,则 \(D\) 绕 y 轴(\(x=0\))所得旋转体的体积为
(2)设 \(D\) 由曲线方程 \(y=f(x), x=a, x=b\),x 轴(\(y=0\))所围,则 \(D\) 绕 \(x=k\) 所得旋转体的体积为
(3)设 \(D\) 由曲线方程 \(y=f(x), y=g(x), x=a, x=b\) 所围,则 \(D\) 绕 y 轴(\(x=0\))所得旋转体的体积为
(4)设 \(D\) 由曲线方程 \(y=f(x), y=g(x), x=a, x=b\) 所围,则 \(D\) 绕 \(x=k(k \geq b 或 k \leq a)\) 所得旋转体的体积为
4.1.4 典型例题(必看)
【例 1】区域 \(D\) 由曲线方程 \(y=\sin x, y=0, y=\frac{\pi}{2}\) 所围,求 \(D\) 绕 x 轴和 y 轴旋转所得旋转体的体积 \(V_x\) 和 \(V_y\)。
【解】(1)\(D\) 绕 x 轴所得旋转体的体积为
(2)\(D\) 绕 y 轴所得旋转体的体积为
以上方法是基于纵向分割的微元,即先 \(dy\),后 \(dx\),采用柱壳法。也可基于横向分割的微元,采用切片法,先 \(dx\),后 \(dy\),如下
【例 2】设摆线 \(\begin{cases} x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t) \end{cases}(t \in [0, 2\pi], a>0)\) 与 x 轴所围平面图形为 \(D\)。
(1)求 \(D\) 绕 x 轴和 y 轴所得旋转体的体积;
(2)求 \(D\) 绕直线 \(y=2a\) 所得旋转体的体积。
【解】(1)\(D\) 绕 x 轴所得旋转体的体积为
\(D\) 绕 y 轴所得旋转体的体积为
(2)\(D\) 绕直线 \(y=2a\) 所得旋转体的体积为
【例 3】设心形线 \(r=4(1+\cos \theta)\) 与 \(\theta = 0, \theta = \frac{\pi}{2}\) 所围图形为 \(D\),求 \(D\) 绕极轴旋转一周所得旋转体的体积。
【解】先将极坐标方程写成参数方程
因此 \(D\) 绕 x 轴所得旋转体的体积为
4.2 旋转体的侧面积
4.2.1 直角坐标系下的计算公式
(1)设 \(D\) 由曲线方程 \(y=f(x), x=a, x=b\),x 轴所围,则 \(D\) 绕 x 轴所得旋转体的侧面积为
(2)设 \(D\) 由曲线方程 \(y=f(x), x=a, x=b\),x 轴所围,则 \(D\) 绕 \(L: Ax+By+C=0\) 所得旋转体的侧面积为
4.2.2 参数方程形式下的计算公式
设曲线方程 \(y=f(x), x \in [a,b]\) 由参数方程 \(\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases}, t \in [\alpha, \beta]\) 确定,\(D\) 由曲线方程 \(y=f(x), x=a, x=b\),x 轴所围,则 \(D\) 绕 x 轴所得旋转体的侧面积为
4.2.3 极坐标系下的计算公式
设平面曲线由极坐标方程 \(r=r(\theta), \theta \in [\alpha,\beta]\) 确定,则可先转化为参数方程形式
则 \(D\) 绕 x 轴所得旋转体的侧面积为