运用谱分解定理反求实对称矩阵

目录

• 谱分解定理
• 定理的运用

谱分解定理

设三阶实对称矩阵 \(A\)，若矩阵 \(A\) 的特征值为 \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\)，对应的单位化特征向量分别为 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 且两两正交，则 \(A = \lambda_1 \alpha_1 \alpha_1^{\mathrm{T}} + \lambda_2 \alpha_2 \alpha_2^{\mathrm{T}} + \lambda_3 \alpha_3 \alpha_3^{\mathrm{T}}\)。

【注 1】在考研范围内，只适用于实对称矩阵。
【注 2】特征向量必须两两正交且单位化！

证明：三阶实对称矩阵 \(A\) 可相似对角化，存在正交矩阵 \(Q=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\)，使得 \(Q^{\mathrm{T}}AQ = \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \lambda_3 \end{bmatrix}\)。

所以有：\(A = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \lambda_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_1^{\mathrm{T}} \\ \alpha_2^{\mathrm{T}} \\ \alpha_3^{\mathrm{T}} \end{bmatrix} = \lambda_1 \alpha_1 \alpha_1^{\mathrm{T}} + \lambda_2 \alpha_2 \alpha_2^{\mathrm{T}} + \lambda_3 \alpha_3 \alpha_3^{\mathrm{T}}\)。

定理的运用

什么时候运用谱分解定理最方便？

（1）当特征值出现 \(0\) 时，运用定理可减少计算量（参见解法一）；

（2）当特征值出现二重根 \(k\) 时，可先运用定理计算出具体的 \(A-kE\)，再算出实对称矩阵 \(A\)（参见解法二）；

（3）运用该定理甚至不需要求出所有的特征向量！

【例】设 \(3\) 阶实对称矩阵 \(A\) 的秩为 \(2\)，\(\lambda_1=\lambda_2=6\) 是 \(A\) 的二重特征值，若 \(\alpha_1=(1,1,0)^{\mathrm{T}},\alpha_2=(2,1,1)^{\mathrm{T}},\alpha_3=(-1,2,-3)^{\mathrm{T}}\)，都是 \(A\) 属于特征值 \(6\) 的特征向量，求矩阵 \(A\)。

【解法一】由 \(r(A)=2\) 可得特征值 \(\lambda_1=\lambda_2=6, \lambda_3=0\)，将 \(\alpha_1=(1,1,0)^{\mathrm{T}},\alpha_2=(2,1,1)^{\mathrm{T}}\) 进行单位正交化得：\(\xi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} (1,1,0)^{\mathrm{T}},\xi_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2)^{\mathrm{T}}\)。

运用谱分解定理：

\[\begin{aligned} A &= \lambda_1 \xi_1 \xi_1^{\mathrm{T}} + \lambda_2 \xi_2 \xi_2^{\mathrm{T}} \\ &= 3 \xi_1 \xi_1^{\mathrm{T}} + \xi_2 \xi_2^{\mathrm{T}} \\ &= 3 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} (1,1,0) + \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} (1,-1,2) \\ &= \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & -2 \\ 2 & -2 & 4 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

【解法二】先求出 \(A\) 的另一特征值和对应的特征向量 \(\lambda_3=0,\alpha_3=(-1,1,1)^{\mathrm{T}}\)，进行单位正交化：\(\xi_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1)^{\mathrm{T}}\)。

由于 \(A\) 的特征值为 \(\lambda_1=\lambda_2=6, \lambda_3=0\)，所以 \(A-6E\) 的特征值为 \(\lambda_1=\lambda_2=0, \lambda_3=-6\)，注意到其对应的特征向量仍然不变，因此可以先求出 \(A-6E\)，运用谱分解定理：

\[\begin{aligned} A-6E &= \lambda_3 \xi_3 \xi_3^{\mathrm{T}} \\ &= -2 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} (-1,1,1) \\ &= \begin{bmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & -2 \\ 2 & -2 & -2 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

所以有：

\[\begin{aligned} A &= (A-6E) + 6E \\ &= \begin{bmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & -2 \\ 2 & -2 & -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & & \\ & 6 & \\ & & 6 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & -2 \\ 2 & -2 & 4 \end{bmatrix} \end{aligned} \]