一、线性相关性
1. 定义
(1)线性相关:设 α1,α2,...,αs 是 n 维向量,若 ∃ 不全为 0 的一组数 k1,k2,...,ks,使得 k1α1+k2α2+...+ksαs=0,则称 α1,α2,...,αs 线性相关。
(2)线性无关:设 α1,α2,...,αs 是 n 维向量,若要使得 k1α1+k2α2+...+ksαs=0,当且仅当 k1=k2=...=ks=0,则称 α1,α2,...,αs 线性无关。
(3)有零向量的向量组一定线性相关。
【注】如未特别说明,所有向量均视为列向量。
2. 线性相关性的运算
(1)线性相关 + 线性相关 = 线性相关:α1,α2,...,αs 线性相关,β1,β2,...,βs 线性相关 ⇒α1+β1,α2+β2,...,αs+βs 线性相关
(2)线性相关 + 线性无关 = 线性无关:α1,α2,...,αs 线性相关,β1,β2,...,βs 线性无关 ⇒α1+β1,α2+β2,...,αs+βs 线性无关
(3)线性无关 + 线性无关 = 线性相关性不确定:α1,α2,...,αs 线性无关,β1,β2,...,βs 线性无关 ⇒α1+β1,α2+β2,...,αs+βs 的线性相关性不确定
3. 延长和缩短
(1)原来无关,延长无关:α1,α2,...,αs 是 n 维线性无关的向量 ⇒ 延长至 m(m>n) 维后仍线性无关
(2)原来相关,缩短相关:α1,α2,...,αs 是 m 维线性无关的向量 ⇒ 缩短至 n(n<m) 维后仍线性无关
(3)特别地,n 维向量 α1,α2,...,αs 和 m 维向量 (α10),(α20),...,(αs0) 的线性相关性一致。
【注】从齐次线性方程组的角度来看,是 Ax=0 中方程个数的增加和减少。
4. 个数和维数
(1)个数 > 维数:s>n⇒ n 维向量 α1,α2,...,αs 线性相关
(2)个数 = 维数:s=n,|α1,α2,...,αs|=0⇒ n 维向量 α1,α2,...,αs 线性相关
(3)个数 < 维数:s<n,r(α1,α2,...,αs)<s⇒ n 维向量 α1,α2,...,αs 线性相关
5. 整体和部分
设 n 维向量 α1,α2,...,αs,...,αt(s<t),则有:
(1)整体无关,部分无关:α1,α2,...,αs,...,αt 线性无关 ⇒α1,α2,...,αs 线性无关
(2)部分相关,整体相关:α1,α2,...,αs 线性相关 ⇒α1,α2,...,αs,...,αt 线性相关
【注】从齐次线性方程组的角度来看,是 Ax=0 中未知数个数的增加和减少。
6. 与线性表示的联系
(1)n 维向量α1,α2,...,αs 线性无关 ⇒∀αi(1≤i≤s) 不可由其他向量线性表示
(2)n 维向量α1,α2,...,αs 线性相关 ⇒∃αi(1≤i≤s) 可由其他向量线性表示
7. 与秩、方程组、行列式的联系
设矩阵 An×s=(α1,α2,...,αs),则有:
(1)n 维向量 α1,α2,...,αs 线性无关 ⇔r(α1,α2,...,αs)=s⇔r(A)=s⇔Ax=0 有且仅有零解 ⇔|A|≠0(仅当 A 为方阵)
(2)n 维向量 α1,α2,...,αs 线性相关 ⇔r(α1,α2,...,αs)<s⇔r(A)<s⇔Ax=0 有无穷解(非零解) ⇔|A|=0(仅当 A 为方阵)
8. 与矩阵的联系
(1)AB=0(零向量)
设非零矩阵 Am×n=⎛⎜
⎜
⎜⎝a11a12...a1na21a22...a2n...am1am2...amn⎞⎟
⎟
⎟⎠ 可由列向量组表示为 (α1,α2,...,αm)。
设非零矩阵 Bn×s=⎛⎜
⎜
⎜⎝b11b12...b1sb21b22...b2s...bn1bn2...bns⎞⎟
⎟
⎟⎠ 可由行向量组表示为 ⎛⎜
⎜
⎜⎝β1β2...βs⎞⎟
⎟
⎟⎠。
(1.1)AB=0⇔(α1,α2,...,αm)⎛⎜
⎜
⎜⎝b11b12...b1sb21b22...b2s...bn1bn2...bns⎞⎟
⎟
⎟⎠=0⇔ 矩阵 A 的列向量组线性相关 ⇔Ax=0 有非零解
(1.2)AB=0⇔⎛⎜
⎜
⎜⎝a11a12...a1na21a22...a2n...am1am2...amn⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝β1β2...βm⎞⎟
⎟
⎟⎠=0⇔ 矩阵 B 的行向量组线性相关 ⇔xB=0(BTx=0) 有非零解
(2)左乘矩阵
设有m×n矩阵A,则有:
(2.1)n 维向量 α1,α2,...,αs 线性相关 ⇒Aα1,Aα2,...,Aαs 线性相关
【证明】α1,α2,...,αs 线性相关 ⇔r(α1,α2,...,αs)<s,且 r(AB)≤r(B),所以有 r(Aα1,Aα2,...,Aαs)≤r(α1,α2,...,αs)<s,说明 Aα1,Aα2,...,Aαs 线性相关。
(2.2)n 维向量 Aα1,Aα2,...,Aαs 线性无关 ⇒α1,α2,...,αs 线性无关
【证明】Aα1,Aα2,...,Aαs 线性无关 ⇔r(Aα1,Aα2,...,Aαs)=s,且 r(AB)≤r(B),所以有 s=r(Aα1,Aα2,...,Aαs)≤r(α1,α2,...,αs);又 r(α1,α2,...,αs)≤s,所以 r(α1,α2,...,αs)=s,说明 α1,α2,...,αs 线性无关。
二、线性表示
1. 定义
(1)线性表示:设 α1,α2,...,αs 是 n 维向量,若 ∃ 一组数k1,k2,...,ks,使得 β=k1α1+k2α2+...+ksαs,则称 β 可由 α1,α2,...,αs 线性表示。
(2)极大线性无关组:设 n 维向量组 α1,α2,...,αs 中有 r 个向量线性无关,任意 r+1 个向量(如果有)线性相关,则称 r 个线性无关的向量为该向量组的一个极大线性无关组,且 r(α1,α2,...,αs)=r。
(3)向量组等价:设 n 维向量组 (I)α1,α2,...,αs 和 (II)β1,β2,...,βt,若向量组 (I) 可由 (II) 线性表示,向量组 (II) 也可由 (I) 线性表示,则称 (I) 和 (II) 等价。
2. 线性表示的运算
设 n 维向量组 α1,α2,...,αs,且 β,γ 也是 n 维向量,则有:
(1)线性 + 线性 = 线性:β,γ 可用 α1,α2,...,αs 线性表示 ⇒ β±γ 可用 α1,α2,...,αs 线性表示
(2)非线性 + 非线性 = 不确定:β,γ 都可用 α1,α2,...,αs 线性表示 ⇒ β±γ 不一定能用 α1,α2,...,αs 线性表示
(3)线性 + 非线性 = 非线性:β 可用 α1,α2,...,αs 线性表示,γ 不可用 α1,α2,...,αs 线性表示 ⇒ β±γ 不可用 α1,α2,...,αs 线性表示
3. 整体和部分
设 n 维向量 α1,α2,...,αs,...,αt(s<t),则有:
(1)β 可由 α1,α2,...,αs 线性表示 ⇒β 可由 α1,α2,...,αs,...,αt 线性表示
(2)β 不可由 α1,α2,...,αs,...,αt 线性表示 ⇒β 不可由 α1,α2,...,αs 线性表示
4. 传递性
(1)线性表示的传递性
(1.1)设 n 维向量组 (I)α1,α2,...,αs 可由 (II)β1,β2,...,βt 线性表示,则:γ 可由 (I) 线性表示 ⇒γ 可由 (II) 线性表示
(1.2)β 可由 α1,α2,...,αs 线性表示 ⇔β 可由 α1,α2,...,αs 的极大无关组线性表示 ⇔α1,α2,...,αs 与 α1,α2,...,αs,β 等价
(1.3)β 可由 α1,α2,...,αs 线性表示,α 可由 α1,α2,...,αs−1 线性表示 ⇒β 可由 α1,α2,...,αs−1 线性表示
(2)向量组等价的传递性
若向量组 (I)α1,α2,...,αs 和 (II)β1,β2,...,βt 等价,则有:
(2.1)γ 可由 (I) 线性表示 ⇔γ 可由 (II) 线性表示
(2.2)γ 不可由 (I) 线性表示 ⇔γ 不可由 (II) 线性表示
5. 与秩、方程组的联系
(1)一个向量可由其他向量组线性表示?
(1.1)r(α1,α2,...,αs)≤r(α1,α2,...,αs,β)≤r(α1,α2,...,αs)+1
(1.2)β 可由 α1,α2,...,αs 线性表示 ⇔r(α1,α2,...,αs,β)=r(α1,α2,...,αs)≤s
从非齐次线性方程组的角度来看,是 Ax=b 有解 ⇔r(A)=r(A,b)≤n。
(1.3)β 可由 α1,α2,...,αs 唯一线性表示 ⇔r(α1,α2,...,αs,β)=r(α1,α2,...,αs)=s
从非齐次线性方程组的角度来看,是 Ax=b 有唯一解 ⇔r(A)=r(A,b)=n。
【注】上述结论又可写为:β 可由 α1,α2,...,αs 线性表示,则:表示方法唯一 ⇔α1,α2,...,αs 线性无关
(1.4)β 不可由 α1,α2,...,αs 线性表示 ⇔r(α1,α2,...,αs,β)=r(α1,α2,...,αs)+1
从非齐次线性方程组的角度来看,是 Ax=b 无解 ⇔r(A)≠r(A,b)。
【注】β 不可由 α1,α2,...,αs 线性表示,则:
- 原来无关,加入后无关:α1,α2,...,αs 线性无关 ⇔α1,α2,...,αs,β 线性无关
- 原来相关,加入后相关:α1,α2,...,αs 线性相关 ⇔α1,α2,...,αs,β 线性相关
(2)一个向量组可由其他向量组线性表示?【结论(1)的推广】
(2.1)r(α1,α2,...,αs)≤r(α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt)≤r(α1,α2,...,αs)+t
(2.2)β1,β2,...,βt 可由 α1,α2,...,αs 线性表示 ⇔r(α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt)=r(α1,α2,...,αs)≤s
从非齐次线性方程组的角度来看,是 Ax=B 有无穷多解 ⇔r(A)=r(A,B)<n。
【注】β1,β2,...,βt 可由 α1,α2,...,αs 线性表示 ⇒r(β1,β2,...,βt)≤r(α1,α2,...,αs),但逆命题不成立。
(2.3)β1,β2,...,βt 可由 α1,α2,...,αs 唯一线性表示 ⇔r(α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt)=r(α1,α2,...,αs)=s
从非齐次线性方程组的角度来看,是 Ax=B 有唯一解 ⇔r(A)=r(A,B)=n。
(2.4)β1,β2,...,βt 不可由 α1,α2,...,αs 线性表示 ⇔r(α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt)=r(α1,α2,...,αs)+t
从非齐次线性方程组的角度来看,是 Ax=B 无解 ⇔r(A)≠r(A,B)。
【注】β1,β2,...,βt 不可由 α1,α2,...,αs 线性表示,则:
- 原来无关,加入后无关:α1,α2,...,αs 线性无关 ⇔α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt 线性无关
- 原来相关,加入后相关:α1,α2,...,αs 线性相关 ⇔α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt 线性相关
(2.5)以少表多,多的相关:若 β1,β2,...,βt 可由 α1,α2,...,αs 线性表示,则有:
- (2.5.1)s<t⇒β1,β2,...,βt 线性相关
- (2.5.2)β1,β2,...,βt 线性无关 ⇒s≥t
【证明】结论(2.5.1)和结论(2.5.2)互为逆否命题,只需证明结论(2.5.1)即可:
β1,β2,...,βt 可由 α1,α2,...,αs 线性表示
⇒r(β1,β2,...,βt)≤r(α1,α2,...,αs)≤s<t
⇒β1,β2,...,βt 线性相关
(3)向量组等价【结论(2)的推广】
设 (I)α1,α2,...,αs 和 (II)β1,β2,...,βt,则有:
(3.1)(I) 和 (II) 等价 ⇔(I) 可由 (II) 线性表示,(II) 也可由 (I) 线性表示 ⇔r(I)=r(I,II)=r(II)
(3.2)r(I)=r(II)⇏ (I) 和 (II) 等价
从齐次线性方程组的角度来看,是 Ax=0 和 Bx=0 同解 ⇔r(A)=r(B)=r(AB)。
6. 与线性相关性的联系
β 可由 α1,α2,...,αs 唯一表示 ⇔α1,α2,...,αs 线性无关,α1,α2,...,αs,β 线性相关
7. 与矩阵的联系(AB=C)
设非零矩阵 Am×n=⎛⎜
⎜
⎜⎝a11a12...a1na21a22...a2n...am1am2...amn⎞⎟
⎟
⎟⎠ 可由列向量组表示为 (α1,α2,...,αm)。
设非零矩阵 Bn×s=⎛⎜
⎜
⎜⎝b11b12...b1sb21b22...b2s...bn1bn2...bns⎞⎟
⎟
⎟⎠ 可由行向量组表示为 ⎛⎜
⎜
⎜⎝β1β2...βs⎞⎟
⎟
⎟⎠。
设非零矩阵 Cm×s 可由列向量组表示为 (γ1,γ2,...,γs),也可由行向量组表示为 ⎛⎜
⎜
⎜⎝δ1δ2...δm⎞⎟
⎟
⎟⎠。
(1)AB=C⇔(α1,α2,...,αm)⎛⎜
⎜
⎜⎝b11b12...b1sb21b22...b2s...bn1bn2...bns⎞⎟
⎟
⎟⎠=(γ1,γ2,...,γs)⇔ 矩阵 C 的列向量组可用矩阵 A 的列向量组线性表示 ⇔r(A)=r(A,C)⇔Ax=C 有解
若加上前提条件:矩阵 B 可逆,则有:A=CB−1⇒ 矩阵 A 的列向量组也可用矩阵 C 的列向量组线性表示 ⇒ (结合上述结论可得)矩阵 A 的列向量组与矩阵 C 的列向量组等价 ⇔r(A)=r(C)=r(A,C)⇔r(AT)=r(CT)=r(ATCT)
(2)AB=C⇔⎛⎜
⎜
⎜⎝a11a12...a1na21a22...a2n...am1am2...amn⎞⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜
⎜⎝β1β2...βs⎞⎟
⎟
⎟⎠=⎛⎜
⎜
⎜⎝δ1δ2...δm⎞⎟
⎟
⎟⎠⇔ 矩阵 C 的行向量组可用矩阵 B 的行向量组线性表示 ⇔r(B)=r(BC)⇔xB=C(BTx=CT) 有解
若加上前提条件:矩阵 A 可逆,则有:B=CA−1⇒ 矩阵 B 的行向量组也可用矩阵 C 的行向量组线性表示 ⇒ (结合上述结论可得)矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 ⇔r(B)=r(C)=r(BC)⇔r(BT)=r(CT)=r(BT,CT)
三、矩阵的秩
1. 秩的定义
(1)秩:r(A)= 非 0 子式(行列式)的阶数的最大值
(2)r(A)= 行向量组的秩 = 列向量组的秩
(3)设矩阵 Am×n,则有:
- 0≤r(A)≤min(m,n)
- r(A)=m⇔A 行满秩 ⇔ A 的行向量组线性无关
- r(A)=n⇔A 列满秩 ⇔ A 的列向量组线性无关
(4)设矩阵 An×n,则有:
- A 满秩 ⇔ A 行满秩且列满秩
- A 满秩 ⇔ r(A)=n ⇔ A 的行向量组和列向量组均线性无关 ⇔ |A|≠0 ⇔ A 可逆
(5)矩阵等价:矩阵 A 和 B 可通过初等变换互相转化,称 A 和 B 等价。
- A 和 B 等价 ⇔ A 和 B 的行列对应相等,r(A)=r(B)
2. 秩的性质
(1)关于转置矩阵的性质:
- r(ATA)=r(AAT)=r(AT)=r(A)
- r(A,B)=(ATBT)
(2)r(cA)=r(A)(c≠0)
(3)|r(A)−r(B)|≤r(A±B)≤r(A)+r(B)
(4)关于拼接矩阵 (A,B) 和 (AB) 的性质:
- r(A,B)≥r(A,O)=r(A),r(A,B)≥r(O,B)=r(B)
- r(A±B)≤r(A,B)≤r(A)+r(B)
- r(A,AB)=r(A)=r(ABA)
【注】r(A,BA)≠r(A),这是因为 (A,BA)=(E,B)A 中,(E,B) 的列数和 A 的行数不相等,矩阵乘法无意义。
- r(AB)≥r(AO)=r(A),r(AB)≥r(OB)=r(B)
- r(A±B)≤r(AB)≤r(A)+r(B)
- r(AOOB)=r(A)+r(B)
- r(ACOB)≥r(AOOB)=r(A)+r(B)
【注】有些资料使用 (A|B) 的形式表示拼接矩阵。
(5)关于矩阵乘积 AB 的性质:
- r(AB)≤r(A),r(AB)≤r(B)
- A 列满秩 ⇒r(AB)=r(B)(左乘列满秩矩阵,秩不变)
- B 行满秩 ⇒r(AB)=r(A)(右乘行满秩矩阵,秩不变)
- Am×nBn×s=O⇒r(A)+r(B)≤n
- Am×nBn×s=O,r(A)=n⇒B=O
(6)关于伴随矩阵 A∗ 的性质:
r(A∗)=⎧⎨⎩n,r(A)=n1,r(A)=n−10,r(A)<n−1
3. 秩与方程组
(1)齐次线性方程组
(1.1)齐次线性方程组 Am×nx=0,表示有 m 个方程,n 个未知数,其解的判定为:
Ax=0{无穷多解,r(A)<n(有效方程个数<未知数个数)仅有0解,r(A)=n(有效方程个数=未知数个数)
(1.2)解的性质:
- Ax=0 恰有 s 个线性无关的解 ⇔Ax=0 的基础解系解向量个数为 s=n−r(A)
- Ax=0 有 s 个线性无关的解 ⇔Ax=0 的基础解系解向量个数大于等于 s⇔n−r(A)≥s
- 若 η1,η2,...,ηs 是 Ax=0 的基础解系,则通解为 k1η1+k2η2+...+ksηs
(1.3)判断 η1,η2,...,ηs 是 Ax=0 的基础解系的步骤:
- η1,η2,...,ηs 是 Ax=0 的一组解
- η1,η2,...,ηs 线性无关
- 解向量个数需满足 s=n−r(A)
(2)非齐次线性方程组
(2.1)非齐次线性方程组 Am×nx=b,表示有 m 个方程组,n 个未知数,,其解的判定为:
Ax=b⎧⎪⎨⎪⎩无解,r(A)<r(A,b)有解{无穷多解,r(A)=r(A,b)<n唯一解,r(A)=r(A,b)=n
(2.2)另外,对于方程个数 m,有:
- r(A)≤m,r(A,b)≤m
- r(A)=m⇒Ax=b 一定有解
【证明】r(A)=m⇔A 行满秩(行向量组线性无关) ⇒ 由“原来无关,延长无关”知 (A,b) 行满秩(行向量组线性无关)⇔r(A,b)=m⇔Ax=b 有解
(2.3)解的性质:
- Ax=b 有两个不同解 ⇔Ax=b 有无穷解 ⇔r(A)<n
- Ax=b 恰有 s 个线性无关的解 ⇔Ax=0 恰有 s−1 个线性无关的解 ⇔Ax=0 的基础解系解向量个数为 s−1 ⇔Ax=b 的解向量个数为 n−r(A)+1
- 若 η1,η2,...,ηs 是其导出组 Ax=0 的基础解系,ξ 是 Ax=b 的一个特解,则通解为 k1η1+k2η2+...+ksηs+ξ
(3)公共解
(3.1)Ax=0 和 Bx=0 有公共解 ⇔ 求 (AB)x=0 的解
(3.2)Ax=b 和 Bx=d 有公共解 ⇔ 求 (AB)x=(bd) 的解
(3.3)Ax=0 都是 Bx=0 的解 ⇔r(A)=r(AB)≥r(B)
(4)同解
(4.1)Ax=0 和 Bx=0 同解 ⇔Ax=0 和 Bx=0 和 (AB)x=0 同解 ⇔r(A)=r(B)=r(AB)⇔ A 和 B 行等价
【注】Ax=0 和 Bx=0 同解 ⇒r(A)=r(B);但 r(A)=r(B)⇏ Ax=0 和 Bx=0 同解
【证明】Ax=0 和 Bx=0 同解 ⇒ 基础解系解向量个数相等,即 n−r(A)=n−r(B)⇒r(A)=r(B)
(4.2)Ax=c 和 Bx=d 同解 ⇔Ax=c 和 Bx=d 和 (AB)x=(cd) 同解 ⇔r(A,c)=r(B,d)=r(AcBd)⇔ (A,c) 和 (B,d) 行等价
(4.3)Ax=0 都是 Bx=0 的解,且 r(A)=r(B)⇒ Ax=0 和 Bx=0 同解
(4.4)Ax=c 都是 Bx=d 的解,且 r(A)=r(B)⇒ Ax=b 和 Bx=d 同解
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