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线性相关性、线性表示、秩

一、线性相关性

1. 定义

(1)线性相关:设 α1,α2,...,αsn 维向量,若 不全为 0 的一组数 k1,k2,...,ks,使得 k1α1+k2α2+...+ksαs=0,则称 α1,α2,...,αs 线性相关。

(2)线性无关:设 α1,α2,...,αsn 维向量,若要使得 k1α1+k2α2+...+ksαs=0,当且仅当 k1=k2=...=ks=0,则称 α1,α2,...,αs 线性无关。

(3)有零向量的向量组一定线性相关。

【注】如未特别说明,所有向量均视为列向量。

2. 线性相关性的运算

(1)线性相关 + 线性相关 = 线性相关α1,α2,...,αs 线性相关,β1,β2,...,βs 线性相关 α1+β1,α2+β2,...,αs+βs 线性相关

(2)线性相关 + 线性无关 = 线性无关α1,α2,...,αs 线性相关,β1,β2,...,βs 线性无关 α1+β1,α2+β2,...,αs+βs 线性无关

(3)线性无关 + 线性无关 = 线性相关性不确定α1,α2,...,αs 线性无关,β1,β2,...,βs 线性无关 α1+β1,α2+β2,...,αs+βs 的线性相关性不确定

3. 延长和缩短

(1)原来无关,延长无关α1,α2,...,αsn 维线性无关的向量 延长至 m(m>n) 维后仍线性无关

(2)原来相关,缩短相关α1,α2,...,αsm 维线性无关的向量 缩短至 n(n<m) 维后仍线性无关

(3)特别地,n 维向量 α1,α2,...,αsm 维向量 (α10),(α20),...,(αs0) 的线性相关性一致。

【注】从齐次线性方程组的角度来看,是 Ax=0 中方程个数的增加和减少。

4. 个数和维数

(1)个数 > 维数s>n n 维向量 α1,α2,...,αs 线性相关

(2)个数 = 维数s=n,|α1,α2,...,αs|=0 n 维向量 α1,α2,...,αs 线性相关

(3)个数 < 维数s<n,r(α1,α2,...,αs)<s n 维向量 α1,α2,...,αs 线性相关

5. 整体和部分

n 维向量 α1,α2,...,αs,...,αt(s<t),则有:

(1)整体无关,部分无关α1,α2,...,αs,...,αt 线性无关 α1,α2,...,αs 线性无关

(2)部分相关,整体相关α1,α2,...,αs 线性相关 α1,α2,...,αs,...,αt 线性相关

【注】从齐次线性方程组的角度来看,是 Ax=0 中未知数个数的增加和减少。

6. 与线性表示的联系

(1)n 维向量α1,α2,...,αs 线性无关 αi(1is) 不可由其他向量线性表示

(2)n 维向量α1,α2,...,αs 线性相关 αi(1is) 可由其他向量线性表示

7. 与秩、方程组、行列式的联系

设矩阵 An×s=(α1,α2,...,αs),则有:

(1)n 维向量 α1,α2,...,αs 线性无关 r(α1,α2,...,αs)=sr(A)=sAx=0 有且仅有零解 |A|0(仅当 A 为方阵)

(2)n 维向量 α1,α2,...,αs 线性相关 r(α1,α2,...,αs)<sr(A)<sAx=0 有无穷解(非零解) |A|=0(仅当 A 为方阵)

8. 与矩阵的联系

(1)AB=0(零向量)

非零矩阵 Am×n=(a11a12...a1na21a22...a2n...am1am2...amn) 可由列向量组表示为 (α1,α2,...,αm)

非零矩阵 Bn×s=(b11b12...b1sb21b22...b2s...bn1bn2...bns) 可由行向量组表示为 (β1β2...βs)

(1.1)AB=0(α1,α2,...,αm)(b11b12...b1sb21b22...b2s...bn1bn2...bns)=0 矩阵 A 的列向量组线性相关 Ax=0 有非零解

(1.2)AB=0(a11a12...a1na21a22...a2n...am1am2...amn)(β1β2...βm)=0 矩阵 B 的行向量组线性相关 xB=0(BTx=0) 有非零解

(2)左乘矩阵

设有m×n矩阵A,则有:

(2.1)n 维向量 α1,α2,...,αs 线性相关 Aα1,Aα2,...,Aαs 线性相关

【证明】α1,α2,...,αs 线性相关 r(α1,α2,...,αs)<s,且 r(AB)r(B),所以有 r(Aα1,Aα2,...,Aαs)r(α1,α2,...,αs)<s,说明 Aα1,Aα2,...,Aαs 线性相关。

(2.2)n 维向量 Aα1,Aα2,...,Aαs 线性无关 α1,α2,...,αs 线性无关

【证明】Aα1,Aα2,...,Aαs 线性无关 r(Aα1,Aα2,...,Aαs)=s,且 r(AB)r(B),所以有 s=r(Aα1,Aα2,...,Aαs)r(α1,α2,...,αs);又 r(α1,α2,...,αs)s,所以 r(α1,α2,...,αs)=s,说明 α1,α2,...,αs 线性无关。

二、线性表示

1. 定义

(1)线性表示:设 α1,α2,...,αsn 维向量,若 一组数k1,k2,...,ks,使得 β=k1α1+k2α2+...+ksαs,则称 β 可由 α1,α2,...,αs 线性表示。

(2)极大线性无关组:设 n 维向量组 α1,α2,...,αs 中有 r 个向量线性无关,任意 r+1 个向量(如果有)线性相关,则称 r 个线性无关的向量为该向量组的一个极大线性无关组,且 r(α1,α2,...,αs)=r

(3)向量组等价:设 n 维向量组 (I)α1,α2,...,αs(II)β1,β2,...,βt,若向量组 (I) 可由 (II) 线性表示,向量组 (II) 也可由 (I) 线性表示,则称 (I)(II) 等价。

2. 线性表示的运算

n 维向量组 α1,α2,...,αs,且 β,γ 也是 n 维向量,则有:

(1)线性 + 线性 = 线性β,γ 可用 α1,α2,...,αs 线性表示 β±γ 可用 α1,α2,...,αs 线性表示

(2)非线性 + 非线性 = 不确定β,γ 都可用 α1,α2,...,αs 线性表示 β±γ 不一定能用 α1,α2,...,αs 线性表示

(3)线性 + 非线性 = 非线性β 可用 α1,α2,...,αs 线性表示,γ 不可用 α1,α2,...,αs 线性表示 β±γ 不可用 α1,α2,...,αs 线性表示

3. 整体和部分

n 维向量 α1,α2,...,αs,...,αt(s<t),则有:

(1)β 可由 α1,α2,...,αs 线性表示 β 可由 α1,α2,...,αs,...,αt 线性表示

(2)β 不可由 α1,α2,...,αs,...,αt 线性表示 β 不可由 α1,α2,...,αs 线性表示

4. 传递性

(1)线性表示的传递性

(1.1)设 n 维向量组 (I)α1,α2,...,αs 可由 (II)β1,β2,...,βt 线性表示,则:γ 可由 (I) 线性表示 γ 可由 (II) 线性表示

(1.2)β 可由 α1,α2,...,αs 线性表示 β 可由 α1,α2,...,αs 的极大无关组线性表示 α1,α2,...,αsα1,α2,...,αs,β 等价

(1.3)β 可由 α1,α2,...,αs 线性表示,α 可由 α1,α2,...,αs1 线性表示 β 可由 α1,α2,...,αs1 线性表示

(2)向量组等价的传递性

若向量组 (I)α1,α2,...,αs(II)β1,β2,...,βt 等价,则有:

(2.1)γ 可由 (I) 线性表示 γ 可由 (II) 线性表示

(2.2)γ 不可由 (I) 线性表示 γ 不可由 (II) 线性表示

5. 与秩、方程组的联系

(1)一个向量可由其他向量组线性表示?

(1.1)r(α1,α2,...,αs)r(α1,α2,...,αs,β)r(α1,α2,...,αs)+1

(1.2)β 可由 α1,α2,...,αs 线性表示 r(α1,α2,...,αs,β)=r(α1,α2,...,αs)s

从非齐次线性方程组的角度来看,是 Ax=b 有解 r(A)=r(A,b)n

(1.3)β 可由 α1,α2,...,αs 唯一线性表示 r(α1,α2,...,αs,β)=r(α1,α2,...,αs)=s

从非齐次线性方程组的角度来看,是 Ax=b 有唯一解 r(A)=r(A,b)=n

【注】上述结论又可写为:β 可由 α1,α2,...,αs 线性表示,则:表示方法唯一 α1,α2,...,αs 线性无关

(1.4)β 不可由 α1,α2,...,αs 线性表示 r(α1,α2,...,αs,β)=r(α1,α2,...,αs)+1

从非齐次线性方程组的角度来看,是 Ax=b 无解 r(A)r(A,b)

【注】β 不可由 α1,α2,...,αs 线性表示,则:

  • 原来无关,加入后无关α1,α2,...,αs 线性无关 α1,α2,...,αs,β 线性无关
  • 原来相关,加入后相关α1,α2,...,αs 线性相关 α1,α2,...,αs,β 线性相关

(2)一个向量组可由其他向量组线性表示?【结论(1)的推广】

(2.1)r(α1,α2,...,αs)r(α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt)r(α1,α2,...,αs)+t

(2.2)β1,β2,...,βt 可由 α1,α2,...,αs 线性表示 r(α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt)=r(α1,α2,...,αs)s

从非齐次线性方程组的角度来看,是 Ax=B 有无穷多解 r(A)=r(A,B)<n

【注】β1,β2,...,βt 可由 α1,α2,...,αs 线性表示 r(β1,β2,...,βt)r(α1,α2,...,αs),但逆命题不成立。

(2.3)β1,β2,...,βt 可由 α1,α2,...,αs 唯一线性表示 r(α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt)=r(α1,α2,...,αs)=s

从非齐次线性方程组的角度来看,是 Ax=B 有唯一解 r(A)=r(A,B)=n

(2.4)β1,β2,...,βt 不可由 α1,α2,...,αs 线性表示 r(α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt)=r(α1,α2,...,αs)+t

从非齐次线性方程组的角度来看,是 Ax=B 无解 r(A)r(A,B)

【注】β1,β2,...,βt 不可由 α1,α2,...,αs 线性表示,则:

  • 原来无关,加入后无关α1,α2,...,αs 线性无关 α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt 线性无关
  • 原来相关,加入后相关α1,α2,...,αs 线性相关 α1,α2,...,αs,β1,β2,...,βt 线性相关

(2.5)以少表多,多的相关:若 β1,β2,...,βt 可由 α1,α2,...,αs 线性表示,则有:

  • (2.5.1)s<tβ1,β2,...,βt 线性相关
  • (2.5.2)β1,β2,...,βt 线性无关 st

【证明】结论(2.5.1)和结论(2.5.2)互为逆否命题,只需证明结论(2.5.1)即可:

β1,β2,...,βt 可由 α1,α2,...,αs 线性表示

r(β1,β2,...,βt)r(α1,α2,...,αs)s<t

β1,β2,...,βt 线性相关

(3)向量组等价【结论(2)的推广】

(I)α1,α2,...,αs(II)β1,β2,...,βt,则有:

(3.1)(I)(II) 等价 (I) 可由 (II) 线性表示,(II) 也可由 (I) 线性表示 r(I)=r(I,II)=r(II)

(3.2)r(I)=r(II) (I)(II) 等价

从齐次线性方程组的角度来看,是 Ax=0Bx=0 同解 r(A)=r(B)=r(AB)

6. 与线性相关性的联系

β 可由 α1,α2,...,αs 唯一表示 α1,α2,...,αs 线性无关,α1,α2,...,αs,β 线性相关

7. 与矩阵的联系(AB=C

非零矩阵 Am×n=(a11a12...a1na21a22...a2n...am1am2...amn) 可由列向量组表示为 (α1,α2,...,αm)

非零矩阵 Bn×s=(b11b12...b1sb21b22...b2s...bn1bn2...bns) 可由行向量组表示为 (β1β2...βs)

非零矩阵 Cm×s 可由列向量组表示为 (γ1,γ2,...,γs),也可由行向量组表示为 (δ1δ2...δm)

(1)AB=C(α1,α2,...,αm)(b11b12...b1sb21b22...b2s...bn1bn2...bns)=(γ1,γ2,...,γs) 矩阵 C 的列向量组可用矩阵 A 的列向量组线性表示 r(A)=r(A,C)Ax=C 有解

若加上前提条件:矩阵 B 可逆,则有:A=CB1 矩阵 A 的列向量组也可用矩阵 C 的列向量组线性表示 (结合上述结论可得)矩阵 A 的列向量组与矩阵 C 的列向量组等价 r(A)=r(C)=r(A,C)r(AT)=r(CT)=r(ATCT)

(2)AB=C(a11a12...a1na21a22...a2n...am1am2...amn)(β1β2...βs)=(δ1δ2...δm) 矩阵 C 的行向量组可用矩阵 B 的行向量组线性表示 r(B)=r(BC)xB=C(BTx=CT) 有解

若加上前提条件:矩阵 A 可逆,则有:B=CA1 矩阵 B 的行向量组也可用矩阵 C 的行向量组线性表示 (结合上述结论可得)矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 r(B)=r(C)=r(BC)r(BT)=r(CT)=r(BT,CT)

三、矩阵的秩

1. 秩的定义

(1)秩r(A)=0 子式(行列式)的阶数的最大值

(2)r(A)= 行向量组的秩 = 列向量组的秩

(3)设矩阵 Am×n,则有:

  • 0r(A)min(m,n)
  • r(A)=mA 行满秩 A 的行向量组线性无关
  • r(A)=nA 列满秩 A 的列向量组线性无关

(4)设矩阵 An×n,则有:

  • A 满秩 A 行满秩且列满秩
  • A 满秩 r(A)=n A 的行向量组和列向量组均线性无关 |A|0 A 可逆

(5)矩阵等价:矩阵 AB 可通过初等变换互相转化,称 AB 等价。

  • AB 等价 AB 的行列对应相等,r(A)=r(B)

2. 秩的性质

(1)关于转置矩阵的性质:

  • r(ATA)=r(AAT)=r(AT)=r(A)
  • r(A,B)=(ATBT)

(2)r(cA)=r(A)(c0)

(3)|r(A)r(B)|r(A±B)r(A)+r(B)

(4)关于拼接矩阵 (A,B)(AB) 的性质:

  • r(A,B)r(A,O)=r(A)r(A,B)r(O,B)=r(B)
  • r(A±B)r(A,B)r(A)+r(B)
  • r(A,AB)=r(A)=r(ABA)

【注】r(A,BA)r(A),这是因为 (A,BA)=(E,B)A 中,(E,B) 的列数和 A 的行数不相等,矩阵乘法无意义。

  • r(AB)r(AO)=r(A)r(AB)r(OB)=r(B)
  • r(A±B)r(AB)r(A)+r(B)
  • r(AOOB)=r(A)+r(B)
  • r(ACOB)r(AOOB)=r(A)+r(B)

【注】有些资料使用 (A|B) 的形式表示拼接矩阵。

(5)关于矩阵乘积 AB 的性质:

  • r(AB)r(A),r(AB)r(B)
  • A 列满秩 r(AB)=r(B)(左乘列满秩矩阵,秩不变)
  • B 行满秩 r(AB)=r(A)(右乘行满秩矩阵,秩不变)
  • Am×nBn×s=Or(A)+r(B)n
  • Am×nBn×s=O,r(A)=nB=O

(6)关于伴随矩阵 A 的性质:

r(A)={n,r(A)=n1,r(A)=n10,r(A)<n1

3. 秩与方程组

(1)齐次线性方程组

(1.1)齐次线性方程组 Am×nx=0,表示有 m 个方程,n 个未知数,其解的判定为:

Ax=0{,r(A)<n<0,r(A)=n=

(1.2)解的性质:

  • Ax=0 s 个线性无关的解 Ax=0基础解系解向量个数为 s=nr(A)
  • Ax=0s 个线性无关的解 Ax=0基础解系解向量个数大于等于 snr(A)s
  • η1,η2,...,ηsAx=0 的基础解系,则通解为 k1η1+k2η2+...+ksηs

(1.3)判断 η1,η2,...,ηsAx=0 的基础解系的步骤:

  • η1,η2,...,ηsAx=0 的一组解
  • η1,η2,...,ηs 线性无关
  • 解向量个数需满足 s=nr(A)

(2)非齐次线性方程组

(2.1)非齐次线性方程组 Am×nx=b,表示有 m 个方程组,n 个未知数,,其解的判定为:

Ax=b{,r(A)<r(A,b){,r(A)=r(A,b)<n,r(A)=r(A,b)=n

(2.2)另外,对于方程个数 m,有:

  • r(A)mr(A,b)m
  • r(A)=mAx=b 一定有解

【证明】r(A)=mA 行满秩(行向量组线性无关) 由“原来无关,延长无关”知 (A,b) 行满秩(行向量组线性无关)r(A,b)=mAx=b 有解

  • m<nAx=b 一定不是唯一解

(2.3)解的性质:

  • Ax=b 有两个不同解 Ax=b 有无穷解 r(A)<n
  • Ax=b s 个线性无关的解 Ax=0 恰有 s1 个线性无关的解 Ax=0基础解系解向量个数为 s1 Ax=b 的解向量个数为 nr(A)+1
  • η1,η2,...,ηs 是其导出组 Ax=0 的基础解系,ξAx=b 的一个特解,则通解为 k1η1+k2η2+...+ksηs+ξ

(3)公共解

(3.1)Ax=0Bx=0 有公共解 (AB)x=0 的解

(3.2)Ax=bBx=d 有公共解 (AB)x=(bd) 的解

(3.3)Ax=0 都是 Bx=0 的解 r(A)=r(AB)r(B)

(4)同解

(4.1)Ax=0Bx=0 同解 Ax=0Bx=0(AB)x=0 同解 r(A)=r(B)=r(AB) AB 行等价

【注】Ax=0Bx=0 同解 r(A)=r(B);但 r(A)=r(B) Ax=0Bx=0 同解

【证明】Ax=0Bx=0 同解 基础解系解向量个数相等,即 nr(A)=nr(B)r(A)=r(B)

(4.2)Ax=cBx=d 同解 Ax=cBx=d(AB)x=(cd) 同解 r(A,c)=r(B,d)=r(AcBd) (A,c)(B,d) 行等价

(4.3)Ax=0 都是 Bx=0 的解,且 r(A)=r(B) Ax=0Bx=0 同解

(4.4)Ax=c 都是 Bx=d 的解,且 r(A)=r(B) Ax=bBx=d 同解

本文作者:漫舞八月(Mount256)

本文链接:https://www.cnblogs.com/Mount256/p/17551941.html

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