初等变换和广义初等变换
一、初等变换
1. 互换变换
- 第\(i\)行和第\(j\)行互换：\(E_{ij}\)
- 第\(i\)列和第\(j\)列互换：\(E_{ij}\)
【例】第\(1\)行和第\(2\)行互换，或第\(1\)列和第\(2\)列互换：\(E_{12}=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]\)
【推导】不凭记忆，如何求出互换变换矩阵？
（1）行互换：设矩阵\(A = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right]\)，其中\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)为行向量，则第\(1\)行和第\(2\)行互换后得到\(B = \left[ \begin{matrix} \alpha_2 \\ \alpha_1 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] A\)。
（2）列互换：设矩阵\(A = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\)，其中\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)为列向量，则第\(1\)列和第\(2\)列互换后得到\(B =(\alpha_2,\alpha_1,\alpha_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] = A \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]\)。
2. 倍加变换
- 第\(i\)行的\(k\)倍加到第\(j\)行：\(E_{ij}(k)\)
- 第\(i\)列的\(k\)倍加到第\(j\)列：\(E_{ij}(k)\)
【例】第\(1\)行的\(3\)倍加到第\(2\)行，或第\(2\)列的\(3\)倍加到第\(1\)列：\(E_{12}(3)=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]\)
【推导】不凭记忆，如何求出倍加变换矩阵？
（1）行倍加：设矩阵\(A = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right]\)，其中\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)为行向量，则第\(1\)行的\(3\)倍加到第\(2\)行后得到\(B = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2+3\alpha_1 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] A\)。
（2）列倍加：设矩阵\(A = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\)，其中\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)为列向量，则第\(2\)列的\(3\)倍加到第\(1\)列后得到\(B = (\alpha_1+3\alpha_2,\alpha_2,\alpha_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] = A \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]\)。
3. 倍乘变换
- 第\(i\)行乘\(k\)：\(E_{i}(k)\)
- 第\(i\)列乘\(k\)：\(E_{i}(k)\)
【例】第\(3\)行乘\(-2\)，或第\(3\)列乘\(-2\)：\(E_{3}(-2)=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right]\)
【推导】不凭记忆，如何求出倍乘变换矩阵？
（1）行倍乘：设矩阵\(A = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right]\)，其中\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)为行向量，则第\(3\)行乘\(-2\)后得到\(B = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ -2\alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right] A\)。
（2）列倍乘：设矩阵\(A = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\)，其中\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)为列向量，则第\(3\)列乘\(-2\)后得到\(B = (\alpha_1,\alpha_2,-2\alpha_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right] = A \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{matrix} \right]\)。
4. 性质
（1）可逆：三种变换均不会改变矩阵的秩（矩阵的初等变换不会改变秩）
- 互换：\(E_{ij}^{-1} = E_{ij}\)
- 倍加：\(E_{ij}^{-1}(k) = E_{ij}(-k)\)
- 倍乘：\(E_{i}^{-1}(k) = E_{i}(\frac{1}{k})\)
（2）幂次方
- 互换：\(E_{ij}^{n} = \begin{cases} E_{ij}, & n为偶数 \\ E, & n为奇数\end{cases}\)
- 倍加：\(E_{ij}^{n}(k) = E_{ij}(nk)\)
- 倍乘：\(E_{i}^{n}(k) = E_{i}(k^n)\)
（3）行列式
- 互换：\(|E_{ij}| = -1\)
- 倍加：\(|E_{ij}(k)| = 1\)
- 倍乘：\(|E_{i}(k)| = k(k \neq 0)\)
（4）转置
- 互换：\(E_{ij}^{\mathrm{T}} = E_{ij}\)
- 倍加：\(E_{ij}^{\mathrm{T}}(k) = E_{ji}(k)\)
- 倍乘：\(E_{i}^{\mathrm{T}}(k) = E_{i}(k)\)
二、广义初等变换
广义初等变换是初等变换的推广。广义初等变换是对分块矩阵的变换，该方法将每一块视为一个整体，类比初等变换那样进行变换。
1. 广义换法变换
与初等互换变换类似，广义换法变换的变换矩阵形式为\(\left[ \begin{matrix} O & E \\ E & O \end{matrix} \right]\)，其行列式的值均不为\(0\)，说明变换矩阵均可逆，此变换不会改变矩阵的秩。
（1）第\(2\)行与第\(1\)行互换：
（2）第\(2\)列与第\(1\)列互换：
2. 广义消法变换
与初等倍加变换类似，广义消法变换的变换矩阵形式有两种：\(\left[ \begin{matrix} E & M \\ O & E \end{matrix} \right]\)和\(\left[ \begin{matrix} E & O \\ M & E \end{matrix} \right]\)，其行列式的值均不为\(0\)，说明变换矩阵均可逆，此变换不会改变矩阵的秩。
（1）第\(2\)行左乘矩阵\(M\)后加到第\(1\)行：
（2）第\(1\)行左乘矩阵\(M\)后加到第\(2\)行：
（3）第\(2\)列右乘矩阵\(M\)后加到第\(1\)列：
（4）第\(1\)列右乘矩阵\(M\)后加到第\(2\)列：
3. 广义倍法变换
与初等倍乘变换类似，广义倍法变换的变换矩阵形式有两种：\(\left[ \begin{matrix} M & O \\ O & E \end{matrix} \right]\)和\(\left[ \begin{matrix} E & O \\ O & M \end{matrix} \right]\)，其行列式的值为\(|M|\)，此时分为两种情况：当\(|M| \neq 0\)时，变换矩阵均可逆，此变换不会改变矩阵的秩；当\(|M|=0\)时，变换矩阵不可逆，此变换会改变矩阵的秩，这时就不能使用广义倍法变换了。所以，尽量少使用此变换，因为该变换可能会改变矩阵的秩。
（1）第\(1\)行左乘矩阵\(M（|M| \neq 0）\)：
（2）第\(2\)行左乘矩阵\(M（|M| \neq 0）\)：
（3）第\(1\)列右乘矩阵\(M（|M| \neq 0）\)：
（4）第\(2\)列右乘矩阵\(M（|M| \neq 0）\)：
三、例题
1. 初等变换
【例 1】将矩阵\(A\)的第\(2\)行的\(-3\)倍加到第\(1\)行得到矩阵\(B\)，然后将矩阵\(B\)的第\(1\)列的\(2\)倍加到第\(3\)列得到数量矩阵\(5E\)，求矩阵\(A\)。
【解】设矩阵\(A = \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right]\)，其中\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)为行向量，则矩阵\(B = \left[ \begin{matrix} \alpha_1-3\alpha_2 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3\end{matrix} \right]\)，所以变换矩阵\(P = \left[ \begin{matrix} 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]\)。根据初等变换矩阵的性质可得\(P^{-1} = \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]\)。
设矩阵\(B = (\beta_1,\beta_2,\beta_3)\)，其中\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)为列向量，则矩阵\(C = (\beta_1,\beta_2,\beta_3+2\beta_1) = (\beta_1,\beta_2,\beta_3) \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]\)，所以变换矩阵\(Q = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]\)。根据初等变换矩阵的性质可得\(Q^{-1} = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]\)。
由题意得\(PAQ = 5E\)，则矩阵\(A = 5P^{-1}Q^{-1} =5 \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right] = 5 \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]\)。
若是通过初等变换求矩阵的秩，由于初等行变换和初等列变换均不改变原矩阵的秩，所以初等行、列变换可以混合使用。
【例 2】设\(A=\left[ \begin{matrix} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{matrix} \right]\)，已知\(r(A^*)+r(A)=3\)，求\(a,b\)应该满足的关系。
【解】由\(r(A^*)+r(A)=3\)易知：\(r(A)=2,r(A^*)=1\)，接下来对\(A\)进行初等变换：
因为\(r(A)<3\)，所以有\(|A|=(a+2b)(a-b)^2=0\)。若\(a-b=0\)，则\(r(A)=1\)，不符合题意，所以\(a-b \neq 0\)且\(a+2b=0\)。
2. 应用于矩阵的秩
【例 1】设矩阵\(A\)和\(B\)均为\(n\)阶矩阵，证明：\(r(A,AB) = r \left( \begin{matrix} A \\ BA \end{matrix} \right) = r(A)\)。
【证明】（1）先证明\(r(A,AB) = r(A)\)：
由广义初等变换得：\((A,AB) \xrightarrow{c_2-c_1B} (A,O)\)，且变换矩阵可逆，说明\(r(A,AB) = r(A,O) = r(A)\)。
（2）再证明\(r \left( \begin{matrix} A \\ BA \end{matrix} \right) = r(A)\)：
由广义初等变换得：\(\left( \begin{matrix} A \\ BA \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_2-Br_1} \left( \begin{matrix} A \\ O \end{matrix} \right)\)，且变换矩阵可逆，说明\(r \left( \begin{matrix} A \\ BA \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} A \\ O \end{matrix} \right) = r(A)\)。
综上有：\(r(A,AB) = r \left( \begin{matrix} A \\ BA \end{matrix} \right) = r(A)\)。
【例 2】设矩阵\(A\)和\(B\)均为\(m \times n\)阶矩阵，证明：\(r \left( \begin{matrix} A+B \\ A-B \end{matrix} \right) = r \left( \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right)\)。
【证明】由广义初等变换得：
其中，第一次和第二次的广义消法变换不会改变秩，第三次的广义倍法变换可能会改变原矩阵的秩，因此考查第三次变换的情况。
第三次的广义倍法变换矩阵为\(\left[\begin{matrix} \frac{1}{2}E & O \\ O & -E \end{matrix} \right]\)，其行列式不为\(0\)，说明该变换矩阵可逆，不会改变原矩阵的秩。
因此得证：\(r \left( \begin{matrix} A+B \\ A-B \end{matrix} \right) = r \left( \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right)\)。
【例 3】设矩阵\(A\)和\(B\)均为\(m \times n\)阶矩阵，证明：\(r(A+B) \leq r \left( \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right), r(A+B) \leq r(A,B)\)。
【证明】（1）证明\(r(A+B) \leq r \left( \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right)\)：
由广义初等变换得：\(\left( \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_1+Er_2} \left( \begin{matrix} A+B \\ B \end{matrix} \right)\)，其变换并未改变原矩阵的秩，所以有：\(r \left( \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) = r \left( \begin{matrix} A+B \\ B \end{matrix} \right) \geq r(A+B)\)，得证。
（2）证明\(r(A+B) \leq r(A,B)\)：
由广义初等变换得：\((A,B) \xrightarrow{c_1+c_2E} (A+B,B)\)，其变换并未改变原矩阵的秩，所以有：\(r(A,B) = r(A+B,B) \geq r(A+B)\)，得证。
【例 4】设\(A,B\)为\(n\)阶实矩阵，下列不成立的是（ ）
（A）\(r \left( \begin{matrix} A & O \\ O & A^TA \end{matrix} \right) = 2r(A)\)
（B）\(r \left( \begin{matrix} A & AB \\ O & A^T \end{matrix} \right) = 2r(A)\)
（C）\(r \left( \begin{matrix} A & BA \\ O & AA^T \end{matrix} \right) = 2r(A)\)
（D）\(r \left( \begin{matrix} A & O \\ BA & A^T \end{matrix} \right) = 2r(A)\)
【解】A 项，运用性质\(r \left( \begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right) = r(A)+r(B)\)可知，\(r \left( \begin{matrix} A & O \\ O & A^TA \end{matrix} \right) = r(A) + r(A^T) = 2r(A)\)，结论正确。
B 项，由广义初等变换得：\(\left( \begin{matrix} A & AB \\ O & A^T \end{matrix} \right) \xrightarrow{c_2-c_1B} \left( \begin{matrix} A & O \\ O & A^T \end{matrix} \right)\)，其变换不改变原矩阵的秩，所以有：\(r \left( \begin{matrix} A & AB \\ O & A^T \end{matrix} \right) = r \left( \begin{matrix} A & O \\ O & A^T \end{matrix} \right) = 2r(A)\)，结论正确。
D 项，由广义初等变换得：\(\left( \begin{matrix} A & O \\ BA & A^T \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_2-Br_1} \left( \begin{matrix} A & O \\ O & A^T \end{matrix} \right)\)，其变换不改变原矩阵的秩，所以有：\(r \left( \begin{matrix} A & O \\ BA & A^T \end{matrix} \right) = r \left( \begin{matrix} A & O \\ O & A^T \end{matrix} \right) = 2r(A)\)，结论正确。
由排除法知 C 项结论错误。注意，对于该项，有人通过列变换\(c_2-Bc_1\)得到结论，这是错误的，因为列变换不能左乘矩阵\(B\)，所以是得不到该结论的！
以下几题都是利用性质\(r \left( \begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right) = r(A)+r(B)\)和性质\(r \left( \begin{matrix} A & C \\ O & B \end{matrix} \right) \geq r(A)+r(B)\)来构建矩阵，然后作广义初等变换得到待证结论。
【例 5】\(A,B,C\)分别是\(m \times n, n \times f, f \times g\)矩阵，证明：\(r(AB)+r(BC) \leq r(B)+r(ABC)\)。
【证明】由\(r(B)+r(ABC)\)联想并构造矩阵\(\left( \begin{matrix} ABC & O \\ O & B \end{matrix} \right)\)，对其作广义初等变换得
其变换并未改变原矩阵的秩，所以有：\(r(B)+r(ABC) = r \left( \begin{matrix} ABC & O \\ O & B \end{matrix} \right) = r \left( \begin{matrix} O & AB \\ -BC & B \end{matrix} \right) \geq r(AB) + r(BC)\)，得证。
【例 6】\(A,C\)分别是\(m \times n, n \times f\)矩阵，证明：\(r(A)+r(C) \leq n+r(AC)\)。
【证明】由\(n+r(AC) = r(E)+r(AC)\)联想并构造矩阵\(\left( \begin{matrix} AC & O \\ O & E \end{matrix} \right)\)，对其作广义初等变换得
其变换并未改变原矩阵的秩，所以有：\(n+r(AC) = r \left( \begin{matrix} AC & O \\ O & E \end{matrix} \right) = r \left( \begin{matrix} O & A \\ -C & E \end{matrix} \right) \geq r(A) + r(C)\)，得证。
【例 7】\(A,C\)是\(m \times n\)矩阵，\(B,D\)是\(n \times f\)矩阵，证明：\(r(AB-CD) \leq r(A-C)+r(B-D)\)。
【证明】待证结论可化为\(r[(AB-AD)+(AD-CD)] \leq r(A-C)+r(B-D)\)，由此联想并构造矩阵\(\left( \begin{matrix} A-C & O \\ O & B-D \end{matrix} \right)\)，对其作广义初等变换得
其变换并未改变原矩阵的秩，所以有：
【例 8】\(A,B\)是\(n\)阶方阵，\(E\)是\(n\)阶单位阵，证明：\(r(AB-E) \leq r(A-E)+r(B-E)\)。
【证明】由\(r(A-E)+r(B-E)\)联想并构造矩阵\(\left( \begin{matrix} A-E & O \\ O & B-E \end{matrix} \right)\)，对其作广义初等变换得
其变换并未改变原矩阵的秩，所以有：
有时，为了使用性质\(r \left( \begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right) = r(A)+r(B)\)和性质\(r \left( \begin{matrix} A & C \\ O & B \end{matrix} \right) \geq r(A)+r(B)\)，需要将原矩阵\(\left( \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right)\)通过广义初等变换转化为\(\left( \begin{matrix} A' & B' \\ O & D' \end{matrix} \right)\)的形式。
【例 9】\(A,B,C,D\)分别是\(n \times n,f \times g, n \times g, f \times n\)的矩阵，证明：若\(r \left( \begin{matrix} A & C \\ D & B \end{matrix} \right) = n\)，则\(B=DA^{-1}C\)。
【证明】通过广义初等变换将矩阵的其中一个元素变为\(O\)，因为题中已给出\(A\)可逆，所以可将\(D\)化为\(O\)：
显然该变换不会改变原有矩阵的秩，因此根据性质\(r \left( \begin{matrix} A & C \\ O & B \end{matrix} \right) \geq r(A)+r(B)\)，可以得出：
【例 10】\(A,B,C,D\)是\(n\)阶方阵，证明：若\(r \left( \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right) = n\)，则\(\left| \begin{matrix} |A| & |B| \\ |C| & |D| \end{matrix} \right| = 0\)。
【证明】本题与上题的思路一致。
（1）设\(A,B,C,D\)均不可逆，则四个行列式均为\(0\)，结论显然成立。
（2）设\(A,B,C,D\)至少有一个可逆，不妨假设\(A\)可逆，则由广义初等变换得
显然该变换不会改变原有矩阵的秩，因此根据性质\(r \left( \begin{matrix} A & C \\ O & B \end{matrix} \right) \geq r(A)+r(B)\)，可以得出：
3. 应用于矩阵的逆
【例 1】求以下矩阵的逆，已知矩阵\(A,B\)均可逆：
（1）\(\left( \begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} \right)\)；（2）\(\left( \begin{matrix} O & A \\ B & O \end{matrix} \right)\)；（3）\(\left( \begin{matrix} A & C \\ O & B \end{matrix} \right)\)；（4）\(\left( \begin{matrix} A & O \\ C & B \end{matrix} \right)\)。
【解】求矩阵的逆的通常方法是初等变换法，即：\((A|E) \xrightarrow{r} (E|A^{-1})\)，现推广到使用广义初等变换求矩阵的逆。
（1）由广义初等变换得
且该变换不改变原矩阵的秩，所以矩阵的逆为\(\left( \begin{matrix} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \end{matrix} \right)\)。
（2）由广义初等变换得
且该变换不改变原矩阵的秩，所以矩阵的逆为\(\left( \begin{matrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{matrix} \right)\)。
（3）由广义初等变换得
且该变换不改变原矩阵的秩，所以矩阵的逆为\(\left( \begin{matrix} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1} \\ O & B^{-1} \end{matrix} \right)\)。
（4）由广义初等变换得
且该变换不改变原矩阵的秩，所以矩阵的逆为\(\left( \begin{matrix} A^{-1} & O \\ -B^{-1}CA^{-1} & B^{-1} \end{matrix} \right)\)。
【例 2】\(A,B\)为可逆矩阵，\(E\)为单位阵，\(M^*\)为\(M\)的伴随矩阵，则\(\left( \begin{matrix} A & E \\ O & B \end{matrix} \right)^* = ？\)
【解】由公式\(MM^* = |M|E\)可得\(M^* = |M|M^{-1}\)，因此想要求出该矩阵的伴随矩阵，只需求出其逆矩阵即可。由广义初等变换得
且该变换不改变原矩阵的秩，所以该矩阵的逆为\(\left( \begin{matrix} A^{-1} & -A^{-1}B^{-1} \\ O & B^{-1} \end{matrix} \right)\)。
所以该矩阵的伴随矩阵为\(\left( \begin{matrix} A & E \\ O & B \end{matrix} \right)^* = |A||B| \left( \begin{matrix} A^{-1} & -A^{-1}B^{-1} \\ O & B^{-1} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} |B|\cdot|A|A^{-1} & -|A|A^{-1}\cdot|B|B^{-1} \\ O & |A|\cdot|B|B^{-1} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} |B|A^* & -A^*B^* \\ O & |A|B^* \end{matrix} \right)\)。
4. 应用于行列式计算
初等变换、广义消法变换和广义换法变换均不会改变原矩阵的秩，所以行列式的值也不会改变。
【例】\(A,B\)为\(n\)阶方阵，证明：\(\left| \begin{matrix} A & B \\ B & A \end{matrix} \right| = |A+B| \cdot |A-B|\)。
【证明】由广义初等变换得
显然变换不改变矩阵的秩，所以有：\(\left| \begin{matrix} A & B \\ B & A \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} A+B & O \\ O & A-B \end{matrix} \right| = |A+B| \cdot |A-B|\)。
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