留数法分解有理真分式
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一、真分式和假分式
设\(P_n(x)\)和\(Q_m(x)\)表示\(n\)次和\(m\)次的多项式函数，则
\[\begin{cases}
\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}为假分式, & n \geq m \\
\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}为真分式, & n < m
\end{cases}
\]
假分式可使用长除法分解，此处不再赘述。
二、有理真分式的分解形式
有理真分式\(\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}\)可分解成如下四种形式：
\[\frac{A}{x-a},\frac{A}{(x-a)^l},\frac{Mx+N}{x^2+px+q},\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^l}
\]
两类常见的分式均可以被唯一分解为：
\[\begin{aligned}
（1）&\frac{P(x)}{(x-a)^k} = \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} +...+ \frac{A_k}{(x-a)^k} \\
（2）&\frac{P(x)}{(x^2+px+q)^k} = \frac{M_1x+N_1}{x^2+px+q} + \frac{M_2x+N_2}{(x^2+px+q)^2}+...+ \frac{M_kx+N_k}{(x^2+px+q)^k}
\end{aligned}
\]
注意，\(x^2+px+q\)不能在实数域内进行因式分解。
三、留数法求解待定系数
对于第一类分式，可以采用留数法求解待定系数。留数法又可以分为两种情形：一种是分母\(Q_m(x)\)分解为只有单根的形式，比如\((x-a)(x-b)(x-c)\)；另一种是是分母\(Q_m(x)\)可分解为存在重根的形式，比如\((x-a)^2(x-b)(x-c)\)。
1. 分母\(Q_m(x)\)因式分解后只有单根的情况
（1）若分母\(Q_m(x)\)可分解为
\[Q_m(x)=(x-b_1)(x-b_2)···(x-b_m)
\]
则有理真分式可分解为
\[\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=\frac{A_1}{x-b_1}+\frac{A_2}{x-b_2}+...+\frac{A_m}{x-b_m}
\]
此时系数为
\[A_k=\left[ \frac{P_n(x)}{Q_m(x)} \cdot (x-b_k) \right] \bigg|_{x=b_k},k\in[1,m]
\]
（2）若分母\(Q_m(x)\)可分解为
\[Q_m(x)=(a_1x-b_1)(a_2x-b_2)···(a_mx-b_m)
\]
则上述结论不再适用。应先把\(Q_m(x)\)的每一个因式中\(x\)的系数化为\(1\)，才能继续使用结论。将分母\(Q_m(x)\)整理成
\[Q_m(x)=a_1(x-\frac{b_1}{a_1}) \cdot a_2(x-\frac{b_2}{a_2})···a_m(x-\frac{b_m}{a_m})
\]
令
\[\begin{aligned}
P_n^{'}(x)&=\frac{P_n(x)}{a_1a_2···a_m}\\
Q_m^{'}(x)&=(x-\frac{b_1}{a_1})(x-\frac{b_2}{a_2})···(x-\frac{b_m}{a_m})
\end{aligned}
\]
则有理真分式可分解为
\[\begin{aligned}
\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}= \frac{P_n^{'}(x)}{Q_m^{'}(x)}=\frac{A_1}{x-\frac{b_1}{a_1}}+\frac{A_2}{x-\frac{b_2}{a_2}}+...+\frac{A_m}{x-\frac{b_m}{a_m}}
\end{aligned}
\]
对\(\frac{P_n^{'}(x)}{Q_m^{'}(x)}\)使用留数法，此时系数为
\[A_k=\left[ \frac{P_n^{'}(x)}{Q_m^{'}(x)} \cdot (x-\frac{b_k}{a_k}) \right] \bigg|_{x=\frac{b_k}{a_k}},k\in[1,m]
\]
2. 分母\(Q_m(x)\)因式分解后存在重根的情况
（1）若分母\(Q_m(x)\)可分解为
\[Q_m(x)=(x-b)^m
\]
则有理真分式可分解为
\[\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=\frac{A_1}{x-b}+\frac{A_2}{(x-b)^2}+...+\frac{A_m}{(x-b)^m}
\]
此时系数为
\[\begin{aligned}
A_m&=\left[ \frac{P_n(x)}{Q_m(x)} \cdot (x-b)^m \right] \bigg|_{x=b_m} \\
A_k&=\frac{1}{(m-k)!} \cdot \frac{\mathrm{d}^{m-k}}{\mathrm{d}x^{m-k}} \left[ \frac{P_n(x)}{Q_m(x)} \cdot (x-b)^m \right] \bigg|_{x=b_k},k\in[1,m-1]
\end{aligned}
\]
（2）若分母\(Q_m(x)\)可分解为
\[Q_m(x)=(ax-b)^m
\]
则上述结论不再适用。应先把\(Q_m(x)\)的因式中\(x\)的系数化为\(1\)，才能继续使用结论。将分母\(Q_m(x)\)整理成
\[Q_m(x)=a^m \cdot (x-\frac{b}{a})^m \\
\]
令
\[\begin{aligned}
P_n^{'}(x)&=\frac{P_n(x)}{a^m} \\
Q_m^{'}(x)&=(x-\frac{b}{a})^m
\end{aligned}
\]
将有理真分式化为
\[\begin{aligned}
\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=\frac{P_n^{'}(x)}{Q_m^{'}(x)}=\frac{A_1}{x-\frac{b}{a}}+\frac{A_2}{(x-\frac{b}{a})^2}+...+\frac{A_m}{(x-\frac{b}{a})^m}
\end{aligned}
\]
对\(\frac{P_n^{'}(x)}{Q_m^{'}(x)}\)使用留数法，此时系数为
\[\begin{aligned}
A_m&=\left[ \frac{P_n^{'}(x)}{Q_m^{'}(x)} \cdot \left(x-\frac{b}{a}\right)^m \right] \bigg|_{x=\frac{b}{a}} \\
A_k&=\frac{1}{(m-k)!} \cdot \frac{\mathrm{d}^{m-k}}{\mathrm{d}x^{m-k}} \left[ \frac{P_n^{'}(x)}{Q_m^{'}(x)} \cdot \left(x-\frac{b}{a}\right)^m \right] \bigg|_{x=\frac{b}{a}},k\in[1,m-1]
\end{aligned}
\]
3. 分母\(Q_m(x)\)因式分解后存在复根的情况
分母不可再分解的分式，形如
\[\frac{M_1x+N_1}{x^2+px+q}
\]
其分母无实数根，只有复数根。我们也可使用留数法解决复根情况，将复数根代入计算，但是计算较为繁琐。不过有一种很巧妙的方法（见有理函数积分计算法则——留数思想法）可大大降低运算量，见例 5 及之后例题。
四、相关例题
【例 1】分解以下分式
\[f(x)=\frac{10(x+2)(x+5)}{x(x+1)(x+3)}
\]
【解】将分式分解为
\[f(x)=\frac{A_1}{x}+\frac{A_2}{x+1}+\frac{A_3}{x+3}
\]
用留数法求出各项系数
\[\begin{aligned}
A_1&=\left[ \frac{10(x+2)(x+5)}{x(x+1)(x+3)} \cdot x \right] \bigg|_{x=0}=\frac{100}{3}
\\
A_2&=\left[ \frac{10(x+2)(x+5)}{x(x+1)(x+3)} \cdot (x+1) \right] \bigg|_{x=-1}=-20 \\
A_3&=\left[ \frac{10(x+2)(x+5)}{x(x+1)(x+3)} \cdot (x+3) \right] \bigg|_{x=-3}=-\frac{10}{3}
\end{aligned}
\]
所以结果为
\[f(x)=\frac{\frac{100}{3}}{x}+\frac{-20}{x+1}-\frac{\frac{10}{3}}{x+3}
\]
【例 2】分解以下分式
\[f(x)=\frac{x-2}{x(x+1)^3}
\]
【解】将分式分解为
\[f(x)=\frac{A_1}{x}+\frac{A_2}{(x+1)^3}+\frac{A_3}{(x+1)^2}+\frac{A_4}{x+1}
\]
用留数法求出各项系数
\[\begin{aligned}
A_1&=\left[ \frac{x-2}{x(x+1)^3} \cdot x \right] \bigg|_{x=0}=-2 \\
A_2&=\left[ \frac{x-2}{x(x+1)^3} \cdot (x+1)^3 \right] \bigg|_{x=-1}=3 \\
A_3&=\frac{1}{(3-2)!} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ \frac{x-2}{x(x+1)^3} \cdot (x+1)^3 \right] \bigg|_{x=-1}=2 \\
A_4&=\frac{1}{(3-1)!} \cdot \frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}x^2} \left[ \frac{x-2}{x(x+1)^3} \cdot (x+1)^3 \right] \bigg|_{x=-1}=2
\end{aligned}
\]
所以结果为
\[f(x)=-\frac{2}{x}+\frac{3}{(x+1)^3}+\frac{2}{(x+1)^2}+\frac{2}{x+1}
\]
【例 3】分解以下分式
\[f(x)=\frac{1}{x(2x+3)}
\]
【解】将分式分解为
\[\begin{aligned}
f(x)=\frac{\frac{1}{2}}{x(x+\frac{3}{2})} = \frac{A_1}{x}+\frac{A_2}{x+\frac{3}{2}}
\end{aligned}
\]
用留数法求出各项系数
\[\begin{aligned}
A_1&=\left[ \frac{\frac{1}{2}}{x(x+\frac{3}{2})} \cdot x \right] \bigg|_{x=0}=\frac{1}{3} \\
A_2&=\left[ \frac{\frac{1}{2}}{x(x+\frac{3}{2})} \cdot (x+\frac{3}{2}) \right] \bigg|_{x=-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{3}
\end{aligned}
\]
所以结果为
\[f(x)=\frac{\frac{1}{3}}{x}-\frac{\frac{1}{3}}{x+\frac{3}{2}} =\frac{\frac{1}{3}}{x}-\frac{\frac{2}{3}}{2x+3}
\]
【例 4】分解以下分式
\[f(x)=\frac{1}{x(2x-1)^3}
\]
【解】将分式分解为
\[f(x)=\frac{\frac{1}{8}}{x(x-\frac{1}{2})^3}=\frac{A_1}{x}+\frac{A_2}{(x-\frac{1}{2})^3}+\frac{A_3}{(x-\frac{1}{2})^2}+\frac{A_4}{x-\frac{1}{2}}
\]
用留数法求出各项系数
\[\begin{aligned}
A_1&=\left[ \frac{\frac{1}{8}}{x(x-\frac{1}{2})^3} \cdot x \right] \bigg|_{x=0}=-1 \\
A_2&=\left[ \frac{\frac{1}{8}}{x(x-\frac{1}{2})^3} \cdot (x-\frac{1}{2})^3 \right] \bigg|_{x=\frac{1}{2}}=\frac{1}{4} \\
A_3&=\frac{1}{(3-2)!} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ \frac{\frac{1}{8}}{x(x-\frac{1}{2})^3} \cdot (x-\frac{1}{2})^3 \right] \bigg|_{x=\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2} \\
A_4&=\frac{1}{(3-1)!} \cdot \frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}x^2} \left[ \frac{\frac{1}{8}}{x(x-\frac{1}{2})^3} \cdot (x-\frac{1}{2})^3 \right] \bigg|_{x=\frac{1}{2}}=1
\end{aligned}
\]
所以结果为
\[\begin{aligned}
f(x)&=-\frac{1}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{(x-\frac{1}{2})^3}-\frac{\frac{1}{2}}{(x-\frac{1}{2})^2}+\frac{1}{x-\frac{1}{2}} \\
&=-\frac{1}{x}+\frac{2}{(2x-1)^3}-\frac{2}{(2x-1)^2}+\frac{2}{2x-1}
\end{aligned}
\]
【例 5】（2019 年真题）分解以下分式
\[f(x) = \frac{3x+6}{(x-1)^2 (x^2+x+1)}
\]
【解】将分式分解为
\[f(x) = \frac{A_1}{(x-1)^2} + \frac{A_2}{x-1} + \frac{Mx+N}{x^2+x+1}
\]
其中系数\(A_1,A_2\)易求
\[\begin{aligned}
A_1 &= \left[ \frac{3x+6}{(x-1)^2 (x^2+x+1)} \cdot (x-1)^2 \right] \bigg|_{x=1}=3 \\
A_2 &= \frac{1}{(2-1)!} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ \frac{3x+6}{(x-1)^2 (x^2+x+1)} \cdot (x-1)^2 \right] \bigg|_{x=1}=-2
\end{aligned}
\]
对于系数\(M,N\)可用以下方法：
先令\(x_0\)为\(x^2+x+1=0\)的一个复数根，然后在等式两边同乘\((x^2+x+1)\)，并代入\(x=x_0\)，此时含有\((x^2+x+1)\)的项将被消去，即
\[\begin{aligned}
& \frac{3x+6}{(x-1)^2 (x^2+x+1)} = \frac{A_1}{(x-1)^2} + \frac{A_2}{x-1} + \frac{Mx+N}{x^2+x+1} \\
\Rightarrow & \frac{3x+6}{(x-1)^2} = \frac{A_1(x^2+x+1)}{(x-1)^2} + \frac{A_2(x^2+x+1)}{x-1} + (Mx+N) \\
\Rightarrow & \frac{3x_0+6}{(x_0-1)^2} = Mx_0+N （代入x=x_0，消去含x^2+x+1的项）
\end{aligned}
\]
现考虑将上式进一步化简，把二次项\((x_0-1)^2\)凑成\((x^2+x+1)\)，即
\[\begin{aligned}
& \frac{3x_0+6}{(x_0-1)^2} = Mx_0+N \\
\Rightarrow & \frac{3x_0+6}{x_0^2-2x_0+1} = Mx_0+N \\
\Rightarrow & \frac{3x_0+6}{(x_0^2+x_0+1)-3x_0} = Mx_0+N \\
\Rightarrow & \frac{3x_0+6}{-3x_0} = Mx_0+N \\
\Rightarrow & -1 - \frac{2}{x_0} = Mx_0+N
\end{aligned}
\]
此时将其中一个复数根\(x_0=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\)代入等式两端，并对比左右求出系数，即
\[\begin{aligned}
& -1 - \frac{2}{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}} = M(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i})+N \\
\Rightarrow & \sqrt{3}\mathrm{i} = \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}M + (N-\frac{M}{2}) （左边分式上下同乘共轭复数）\\
\Rightarrow & M=2,N=1（对比左右求出系数）
\end{aligned}
\]
所以结果为
\[f(x) = \frac{3}{(x-1)^2} - \frac{2}{x-1} + \frac{2x+1}{x^2+x+1}
\]
可见这种方法大大简化了运算。
【例 6】分解以下分式
\[f(x) = \frac{x+2}{(2x+1)(x^2+x+1)}
\]
【解】将分式分解为
\[f(x) = \frac{\frac{1}{2}x+1}{(x+\frac{1}{2})(x^2+x+1)} = \frac{A}{x+\frac{1}{2}} + \frac{Mx+N}{x^2+x+1}
\]
其中系数\(A\)易求
\[\begin{aligned}
A &= \left[ \frac{\frac{1}{2}x+1}{(x+\frac{1}{2})(x^2+x+1)} \cdot (x+\frac{1}{2}) \right] \bigg|_{x=-\frac{1}{2}}=1
\end{aligned}
\]
对于系数\(M,N\)也可使用例 5 的方法求解，先令\(x_0\)为\(x^2+x+1=0\)的一个复数根，然后在等式两边同乘\((x^2+x+1)\)，并代入\(x=x_0\)，此时含有\((x^2+x+1)\)的项将被消去，即
\[\begin{aligned}
& \frac{\frac{1}{2}x+1}{(x+\frac{1}{2})(x^2+x+1)} = \frac{A}{x+\frac{1}{2}} + \frac{Mx+N}{x^2+x+1} \\
\Rightarrow & \frac{\frac{1}{2}x+1}{x+\frac{1}{2}} = \frac{A(x^2+x+1)}{x+\frac{1}{2}} + (Mx+N) \\
\Rightarrow & \frac{\frac{1}{2}x_0+1}{x_0+\frac{1}{2}} = \frac{A(x_0^2+x_0+1)}{x_0+\frac{1}{2}} + (Mx_0+N) \\
\Rightarrow & \frac{\frac{1}{2}x_0+1}{x_0+\frac{1}{2}} = Mx_0+N \\
\Rightarrow & \frac{x_0+2}{2x_0+1} = Mx_0+N
\end{aligned}
\]
现考虑将等式左边凑出\((x^2+x+1)\)，但是分子、分母均为一次项，凑不出二次项出来，所以分子、分母需要乘以一个形如\((Ax+B)\)的项，接着再凑出\((x^2+x+1)\)。
如何确定这个\((Ax+B)\)的项呢？使用长除法，用\((x^2+x+1)\)去除以分母\(2x+1\)，得到：\(x^2+x+1 = (2x+1)(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}) + \frac{3}{4}\)，于是等式左边上下同乘\((\frac{1}{2}x+\frac{1}{4})\)得：
\[\begin{aligned}
& \frac{x_0+2}{2x_0+1} = Mx_0+N \\
\Rightarrow & \frac{(x_0+2)(\frac{1}{2}x_0+\frac{1}{4})}{(2x_0+1)(\frac{1}{2}x_0+\frac{1}{4})} = Mx_0+N \\
\Rightarrow & \frac{\frac{1}{2}x_0^2+\frac{5}{4}x_0+\frac{1}{2}}{(x_0^2+x_0+1)-\frac{3}{4}} = Mx_0+N \\
\Rightarrow & \frac{\frac{1}{2}(x_0^2+x_0+1)+\frac{3}{4}x_0}{(x_0^2+x_0+1)-\frac{3}{4}} = Mx_0+N （等式左边的分子也可凑x^2+x+1）\\
\Rightarrow & \frac{\frac{3}{4}x_0}{-\frac{3}{4}} = Mx_0+N \\
\Rightarrow & -x_0 = Mx_0+N \\
\Rightarrow & M=-1,N=0
\end{aligned}
\]
当然，用\((x^2+x+1)\)去除以分子\(x+2\)也是可以的，得到：\(x^2+x+1 = (x+2)(x-1)+3\)，于是等式左边上下同乘\((x-1)\)得：
\[\begin{aligned}
& \frac{x_0+2}{2x_0+1} = Mx_0+N \\
\Rightarrow & \frac{(x_0+2)(x_0-1)}{(2x_0+1)(x_0-1)} = Mx_0+N \\
\Rightarrow & \frac{(x_0^2+x_0+1)-3}{2x_0^2-x_0-1} = Mx_0+N \\
\Rightarrow & \frac{(x_0^2+x_0+1)-3}{2(x_0^2+x_0+1)-3x_0-3} = Mx_0+N（等式左边的分母也可凑x^2+x+1）\\
\Rightarrow & \frac{1}{x_0+1} = Mx_0+N \\
\end{aligned}
\]
此时将其中一个复数根\(x_0=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\)代入等式两端，并对比左右求出系数，即
\[\begin{aligned}
& \frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}} = M(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i})+N \\
\Rightarrow & \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i} = \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}M + (N-\frac{M}{2})（左边分式上下同乘共轭复数）\\
\Rightarrow & M=-1,N=0（对比左右求出系数）
\end{aligned}
\]
对比上面两种方法，可见第一种方法更简便。
所以结果为
\[f(x) = \frac{2}{2x+1} - \frac{x}{x^2+x+1}
\]
