二阶常系数线性非齐次微分方程的解
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一、定义
二阶常系数线性齐次微分方程：
\[y''(x)+py'(x)+qy(x)=0
\]
二阶常系数线性非齐次微分方程：
\[y''(x)+py'(x)+qy(x)=g(x)
\]
二阶常系数线性非齐次微分方程的通解：
\[y(x)=齐次通解+非齐次特解=y_0(x)+y^*(x)
\]
二、齐次通解
特征方程为
\[r^2+pr+q=0
\]
根据特征方程的根\(r_1,r_2\)的情况，设通解为
\[y_0(x)=
\begin{cases}
C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}, & r_1 \neq r_2 \\
(C_1+C_2x)e^{r_1x}, & r_1 = r_2 \\
e^{\alpha x}[C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)], & r = \alpha \pm \mathrm{i} \beta
\end{cases}
\]
三、非齐次特解
1. \(\alpha\)不是特征根
| \(g(x)\)的形式 | 特解\(y^*(x)\)的形式 |
|---|---|
| \(a\) | \(A\) |
| \(ax+b\) | \(Ax+B\) |
| \(ax^2+bx+c\) | \(Ax^2+Bx+C\) |
| \(ae^{\alpha x}\) | \(Ae^{\alpha x}\) |
| \((ax+b)e^{\alpha x}\) | \((Ax+B)e^{\alpha x}\) |
| \((ax^2+bx+c)e^{\alpha x}\) | \((Ax^2+Bx+C)e^{\alpha x}\) |
2. \(\alpha\)是特征单重根
（1）\(\alpha \neq 0\)时
| \(g(x)\)的形式 | 特解\(y^*(x)\)的形式 |
|---|---|
| \(ae^{\alpha x}\) | \(xAe^{\alpha x}\) |
| \((ax+b)e^{\alpha x}\) | \(x(Ax+B)e^{\alpha x}\) |
| \((ax^2+bx+c)e^{\alpha x}\) | \(x(Ax^2+Bx+C)e^{\alpha x}\) |
（2）\(\alpha=0\)时
| \(g(x)\)的形式 | 特解\(y^*(x)\)的形式 |
|---|---|
| \(a\) | \(xA\) |
| \(ax+b\) | \(x(Ax+B)\) |
| \(ax^2+bx+c\) | \(x(Ax^2+Bx+C)\) |
3. \(\alpha\)是特征二重根
（1）\(\alpha \neq 0\)时
| \(g(x)\)的形式 | 特解\(y^*(x)\)的形式 |
|---|---|
| \(ae^{\alpha x}\) | \(x^2Ae^{\alpha x}\) |
| \((ax+b)e^{\alpha x}\) | \(x^2(Ax+B)e^{\alpha x}\) |
| \((ax^2+bx+c)e^{\alpha x}\) | \(x^2(Ax^2+Bx+C)e^{\alpha x}\) |
（2）\(\alpha=0\)时
| \(g(x)\)的形式 | 特解\(y^*(x)\)的形式 |
|---|---|
| \(a\) | \(x^2A\) |
| \(ax+b\) | \(x^2(Ax+B)\) |
| \(ax^2+bx+c\) | \(x^2(Ax^2+Bx+C)\) |
4. \(\alpha+\mathrm{i}\beta\)不是特征根
| \(g(x)\)的形式 | 特解\(y^*(x)\)的形式 |
|---|---|
| \(e^{\alpha x}[a\cos(\beta x) + b\sin(\beta x)]\) | \(e^{\alpha x}[A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x)]\) |
| \(e^{\alpha x}[(ax+b)\cos(\beta x) + (cx+d)\sin(\beta x)]\) | \(e^{\alpha x}[(Ax+B)\cos(\beta x) + (Cx+D)\sin(\beta x)]\) |
| \(e^{\alpha x}[(ax^2+bx+c)\cos(\beta x) + (dx^2+ex+f)\sin(\beta x)]\) | \(e^{\alpha x}[(Ax^2+Bx+C)\cos(\beta x) + (Dx^2+Ex+F)\sin(\beta x)]\) |
5. \(\alpha+\mathrm{i}\beta\)是特征根
| \(g(x)\)的形式 | 特解\(y^*(x)\)的形式 |
|---|---|
| \(e^{\alpha x}[a\cos(\beta x) + b\sin(\beta x)]\) | \(xe^{\alpha x}[A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x)]\) |
| \(e^{\alpha x}[(ax+b)\cos(\beta x) + (cx+d)\sin(\beta x)]\) | \(xe^{\alpha x}[(Ax+B)\cos(\beta x) + (Cx+D)\sin(\beta x)]\) |
| \(e^{\alpha x}[(ax^2+bx+c)\cos(\beta x) + (dx^2+ex+f)\sin(\beta x)]\) | \(xe^{\alpha x}[(Ax^2+Bx+C)\cos(\beta x) + (Dx^2+Ex+F)\sin(\beta x)]\) |
6. 一个小技巧稍微降低运算量
求解二阶常系数线性非齐次微分方程时，需要对特解进行二次求导，若特解是两个含\(x\)项的乘积，则求导时需要不断使用求导乘法法则，且需代入方程求解系数，这个过程的计算量比较大。有一个小技巧可以稍微降低运算量：
\[\begin{aligned}
&若特解是两个含x项的乘积，可将两项分别记为y_1和y_2 \\
&此时特解为：y^*=y_1y_2 \\
&先对特解求一阶导可得：(y^*)'=y_1'y_2+y_1y_2' \\
&再对特解求二阶导可得：(y^*)''=y_1''y_2+2y_1'y_2'+y_1y_2'' \\
&计算y_1'，y_1''，y_2'，y_2''，代入以上两式，整理并化简 \\
&最后代入原方程：y''(x)+py'(x)+qy(x)=0 \\
\end{aligned}
\]
建议将\((y^*)'\)和\((y^*)''\)的式子记下来，以加快运算速度。
【例】\(y''-3y'+2y = 10e^{-x} \sin x\)
\[\begin{aligned}
&特征方程：r^2-3r+2=0 \\
&由此设齐次通解：y_0=C_1e^x+C_2e^{2x} \\
&设非齐次特解：y^*=e^{-x}(A \sin x+B \cos x) \\
&记：y_1=e^{-x}，y_2=A \sin x+B \cos x，则：y^*=y_1y_2 \\
&有：y_1'=-e^{-x}，y_2'=A \cos x-B \sin x \\
&有：y_1''=e^{-x}，y_2''=-A \sin x-B \cos x \\
&所以有：(y^*)'=y_1'y_2+y_1y_2'=e^{-x}[(A-B)\cos x-(A+B) \sin x] \\
&所以有：(y^*)''=y_1''y_2+2y_1'y_2'+y_1y_2''=e^{-x}[2B\sin x-2A \cos x] \\
&最后代入原方程化简：(A+B)\sin x+(B-A)\cos x=2 \sin x \\
&求出A=1,B=1 \\
&所以：y^*=e^{-x}(\sin x+\cos x)
\end{aligned}
\]
