C语言中有关取模和取余的问题

余数在数学中有重要的作用，在编程中也同样重要。不过，在不同编程语言中，有关余数的运算问题往往是不相同的。

对于正数的运算，相信有小学基础的人都能理解，没有什么问题：

• 14 / 6 = 2 ··· 2，因为 14 = 2x6+2

但对于负数的运算，可能会出现以下几种情况：

• -14 / 6 = -2 ··· -2，因为 -14 = (-2)x6+(-2)
• -14 / 6 = -3 ··· 4，因为 -14 = (-3)x6+4
• -14 / -6 = 2 ··· -2，因为 -14 = 2x(-6)+(-2)
• -14 / -6 = 3 ··· 4，因为 -14 = 3x(-6)+4

这说明 -14 除以 6 和 -14 除以 -6 都有两个余数，这是怎么回事呢？

在数学中，余数的定义如下：

如果 a 和 d 是两个自然数，d 不等于 0，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = q * d + r，且 0 ≤ r < d。其中，q 被称为商，r 被称为余数。

所以，数学中的余数只能大于 0，按照定义，-14 除以 -6 的余数只能是 4。不过很遗憾，许多编程语言并不按照数学的定义来。

取余运算（rem）

取余运算的步骤为：

• 计算商：c = a / b，商值 c 向 0 方向舍入
• 计算模或者余数： r = a - c * b

朝 0 取整：

• 当 c 为正时，舍弃其小数部分的值
• 当 c 为负时，也是舍弃其小数部分的值
• 比如，2.33 朝 0 取整后为 2，而 -2.33 朝 0 取整后为 -2

在 C 语言中 % 采用的是取余运算。

• 14 rem 6 = 2，因为 14 = 2x6+2
• -14 rem 6 = -2，因为 -14 = (-2)x6+(-2)
• 14 rem -6 = 2，因为 14 = (-2)x(-6)+2
• -14 rem -6 = -2，因为 -14 = 2x(-6)+(-2)

取模运算（mod）

取模运算的步骤为：

• 计算商：c = a/b，商值 c 向负无穷方向舍入
• 计算模或者余数： r = a - c * b

朝负无穷方向取整：

• 当 c 为正时，舍弃其小数部分的值
• 当 c 为负时，加 -1，舍弃其小数部分的值
• 比如，2.33 朝负无穷方向取整后为 2，而 -2.33 朝负无穷方向取整后为 -3

在 Python 中 % 采用的是取模运算。

• 14 mod 6 = 2，因为 14 = 2x6+2
• -14 mod 6 = 4，因为 -14 = (-3)x6+4
• 14 mod -6 = -4，因为 14 = (-3)x(-6)+(-4)
• -14 mod -6 = -2，因为 -14 = 2x(-6)+(-2)