【数据结构-树&图】树和图的性质

【注意】不要死记结论，理解推导过程及其背后的思路更重要！

目录

• 1 树的性质
  • 1.1 非平凡树的性质
  • 1.2 非空二叉树的性质
  • 1.3 完全二叉树的性质
  • 1.4 森林的性质
  • 1.5 树、二叉树、森林的遍历性质
• 2 图的性质
  • 2.1 无向图的性质
  • 2.2 有向图的性质
  • 附：树图及其性质
  • 2.3 存储结构的性质

1 树的性质

1.1 非平凡树的性质

• 总结点数 = 总度数 + 1（等价于：总结点数 = 总边数/总分支数 + 1）（等价于：若结点总数为 n，则边的数量为 n-1）

【证明】每个结点的度数等于其子结点的个数，即等于与它相连的下一层结点的个数，因此可以推得：某一层的总度数等于下一层结点数的个数。假设一棵树的高度为 h 层，把第 1 层、第 2 层、……、第 h-1 层的总度数加起来，得到的是整棵树中，除了根节点以外的总结点数，因此最后的结果需加 1

【推论】对于二叉树，每个结点有 2 个指针域，一个非空指针域对应一个分支（一条边），因此，n 个结点的二叉树有 n-1 个非空指针域，因而可以得知空指针域 = 2n - (n-1) = n+1

• 度为 m 的树中，第 i 层最多有mi-1个结点

【例】对于二叉树，第 2 层最多有 2^2-1 = 2¹ = 2 个结点，第 5 层最多有 2^5-1 = 2⁴ = 16 个结点；对于三叉树，第 2 层最多有 3^2-1 = 3¹ = 3 个结点，第 5 层最多有 3^5-1 = 3⁴ = 81 个结点

• 高度为 h 的 m 叉树的最多有(m^h-1)/(m-1)个结点，最少有 h 个结点

【证明】最多的情况：m 叉树每一层都排满结点，形成一个满 m 叉树，则结点数一共有S = mh-1 + mh-2 + ... + m2 + m1 + m0 = (mh-1)/(m-1)

最少的情况：每一层都只有 1 个结点

• 高度为 h、度为 m 的树最多有(mh-1)/(m-1)个结点，最少有h+m-1个结点

【证明】最多的情况：度为 m 的树每一层都排满结点，则结点数一共有S = mh-1 + mh-2 + ... + m2 + m1 + m0 = (mh-1)/(m-1)

最少的情况：h-1 层都只有 1 个结点，最后一层有 m 个结点

思考：为什么以上两条性质的条件看起来类似，但结论不一样？

• 具有 n 个结点的 m 叉树的最小高度为logm(n(m-1)+1)（向上取整）

【证明】要使得高度最小，那么让 m 叉树的每一层都尽可能地排满结点。因此，前 h-1 层排满了所有的结点，结点总个数为S = mh-2 + mh-3 + ... + m2 + m1 + m0 = (mh-1-1)/(m-1)；对于最后的第 h 层，可以有 1 个到 m^h-1 （全部排满）个结点。

所以，一棵 m 叉树的总结点数的范围为(mh-1-1)/(m-1)+1 ≤ n ≤ (mh-1-1)/(m-1)+mh-1，即(mh-1-1)/(m-1) < n ≤ (mh-1)/(m-1)，反解出 h 的范围得到：logm(n(m-1)+1) ≤ h < logm(n(m-1)+1)+1，由于 h 是正整数，因此 h 的取值为logm(n(m-1)+1)（向上取整）

1.2 非空二叉树的性质

• 非空二叉树上的叶子结点数（n₀）等于度为 2 的结点数（n₂）加 1，即n0 = n2 + 1

【证明】设度为 0, 1 和 2 的结点个数分别为 n₀, n₁, n₂，结点总数为n = n0 + n1 + n2，而总度数为B = n1 + 2n2。由结论“总结点数 = 总度数 + 1”可知，n = B + 1，代入得n0 + n1 + n2 = n1 + 2n2 + 1，化简得n0 = n2 + 1

• 非空二叉树中，第 i 层最多有2i-1个结点

【例】对于非空二叉树，第 2 层最多有 2^2-1 = 2¹ = 2 个结点，第 5 层最多有 2^5-1 = 2⁴ = 16 个结点

• 高度为 h 的非空二叉树的最多有2h-1个结点，最少有 h 个结点

【证明】最多的情况：二叉树每一层都排满结点，形成一个满二叉树，则结点数一共有S = 2h-1 + 2h-2 + ... + 22 + 21 + 20 = 2h-1；最少的情况：每一层都只有 1 个结点

• 若非空二叉树有 n 个结点，则空指针域有 n+1 个

【证明】若有一棵 n 个结点的非空二叉树，设度为 0, 1 和 2 的结点个数分别为 n₀、n₁、n₂，有n0 = n2 + 1，n = n0 + n1 + n2，将n2代入消去，得n = 2n0 + n1 - 1。注意到此时2n0 + n1即为空指针域的总数，因而总结点数比空指针域总数少 1

1.3 完全二叉树的性质

• 对于高为 h 的完全二叉树，叶子结点只可能出现在第 h-1 层和第 h 层
• 若完全二叉树的一个编号为 i 的结点有左右孩子，则左孩子编号为 2i，右孩子编号为 2i+1

【推论】若完全二叉树的一个编号为 i 的结点有父节点且为父节点的左孩子，则父节点编号为 i/2；若为父节点的右孩子，则父节点编号为 (i-1)/2

• 结点 i 所在层数为log2i（向下取整）+1

【证明】设结点 i 位于第 h 层，则从第 1 层到第 h-1 层的结点总数为2h-1-1，若结点 i 位于第 h 层的第一个位置，则i = 2h-1；若结点 i 位于第 h 层的最后一个位置，则i = 2h-1。所以 i 的取值范围为2h-1 ≤ i < 2h，反解出 h 的范围：log2i < h ≤ log2i+1，由于 i 是正整数，因此 i 的取值为log2i（向下取整）+1

• 若有度为 1 的结点，则只可能有一个，且该结点只有左孩子而没有右孩子
• 设完全二叉树有 n 个结点，当 n 为奇数时，没有度为 1 的结点；当 n 为偶数时，有且仅有一个度为 1 的结点

【证明】设度为 0, 1 和 2 的结点个数分别为 n₀, n₁, n₂，则结点总数为n = n0 + n1 + n2 = (n2 + 1) + n1 + n2 = 2n2 + n1 + 1，求解出n1 = n - 2n2 - 1，注意到 2n₂-1 为奇数，又因为 n₁ 取值只可能为 0 或 1，因此当 n 为奇数时，n₁ 为偶数，即为 0；当 n 为偶数时，n₁ 为奇数，即为 1

• 具有 n 个结点的完全二叉树的高度为log2(n+1)（向上取整）或log2n（向下取整）+1

【证明 1】考虑一个高为 h-1 的满二叉树，其结点总数为2h-1-1；考虑一个高为 h 的满二叉树，其结点总数为2h-1。那么一棵高为 h 的完全二叉树的结点总数 n 应位于这两者之间：2h-1-1 < n ≤ 2h-1，反解出 h 的范围：log2(n+1) ≤ h < log2(n+1)+1，由于 h 是正整数，因此 h 的取值为log2(n+1)（向上取整）

【证明 2】考虑一个高度为 h-1 的满二叉树，其结点总数为2h-1-1，那么高度为 h 的完全二叉树的最少结点个数就是在上式基础上加 1，即2h-1；而最多结点个数就是将第 h 层全部排满，即2h-1。因此一棵高为 h 的完全二叉树的结点总数 n 应位于这两者之间：2h-1 ≤ n < 2h，反解出 h 的范围：log2n < h ≤ log2n+1，由于 h 是正整数，因此 h 的取值为log2n（向下取整）+1

1.4 森林的性质

• “左孩子右兄弟”：二叉树结点的左孩子是原森林（树）中结点的孩子，二叉树结点的右孩子是原森林（树）中结点的兄弟

设森林 F 对应的二叉树为 B，对应的树为 T，转换规则为“左孩子右兄弟”，则有：

• 若 B 的左子树结点总数有 m 个，右子树结点总数为 n 个，则 F 的第一棵树的结点总数为 m+1 个，F 的其他子树的结点总数为 n 个
• F 或 T 的叶结点对应于 B 中没有左孩子的结点

【证明】由“左孩子右兄弟”规则可知，二叉树结点的左孩子是原森林（树）中结点的孩子。而现在森林（树）的叶结点是没有孩子的，因此对应的二叉树结点也没有左孩子

• 如果在 B 中结点 i 是父结点的右孩子，则在 T 或 F 中结点 i 一定有左兄弟

【证明】在 B 中结点 i 是父结点的右孩子，即父结点的右孩子为结点 i，意味着对应的 T 或 F 中父结点和结点 i 是兄弟关系，也就是说，结点 i 左兄弟是父结点

1.5 树、二叉树、森林的遍历性质

• 树的先根遍历 = 二叉树的先序遍历 = 森林的先根遍历（相当于依次对森林的每棵树进行先根遍历）
• 树的后根遍历 = 二叉树的中序遍历 = 森林的后根遍历（相等于依次对森林的每棵树进行后根遍历）

2 图的性质

2.1 无向图的性质

• n 个顶点、e 条边的无向图的度：∑TD = 2e

【注意】若设图中度为 0, 1, 2, 3 的结点个数分别为 n₀, n₁, n₂, n₃，则∑TD = 2e = n1 + 2n2 + 3n3

• n 个顶点的简单完全无向图的边数：n(n-1)/2条
• 如果 n 个顶点的无向图是非连通图，则最少有 0 条边，最多有(n-1)(n-2)/2条边

【证明】n 个顶点的无向图是非连通图，其中 n-1 个顶点构成了一个完全无向图，边数为(n-1)(n-2)/2，剩余一个顶点孤立。
【注】若要保证有 n 个顶点的无向图在任何情况下都是连通的，那么需要(n-1)(n-2)/2 + 1条边。

• 如果 n 个顶点的无向图是连通图，则最少有n-1 条边，最多有n(n-1)/2条边（每个顶点的度为n-1）

• 无向图中的极大连通子图称为连通分量。一个非连通无向图一定有两个或以上的连通分量

• 生成树：连通图的极小连通子图构成了生成树；生成森林：非连通图的连通分量的极小连通子图构成了生成森林

【注意】“极大连通子图”包含了连通分量所有顶点和所有边；“极小连通子图”包含了连通分量所有顶点和（使得子图连通的）最少边数

2.2 有向图的性质

• n 个顶点、e 条边的有向图的度：∑TD = ∑ID + ∑OD = e + e = 2e
• n 个顶点的简单完全有向图的边数：n(n-1)条（每个顶点的度为2(n-1)）
• 若 n 个顶点的有向图是强连通图，那么边数最少有 n 条（形成一个环路）
• 有向图中的极大强连通子图称为强连通分量

附：树图及其性质

• 定义：无环的连通图（“最脆弱的连通图”：只要在树图上任意加一条边，必出现环；只要从树图上删除一条边，图不连通）
• 树图必存在度为 1 的结点
• n 个顶点的树图有且仅有 n-1 条边
• 任何具有 n 个顶点、n-1 条边的连通图是树图

2.3 存储结构的性质

• 无向图的邻接矩阵：行或列表示顶点的度
• 有向图的邻接矩阵：行表示出度，列表示入度
• 邻接矩阵为 A，则 Aⁿ[i][j] 表示顶点 i 到顶点 j 的长度为 n 的路径数
• 有向图的邻接表，其边表存储的是出边表（出度）

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