「相关」CRT&&exLucas

考场上碰到了然后发明\(CRT\)失败了
还是之前学的时候理解不深刻
虽然现在也没好多少

 

中国剩余定理

用来解决线性同余方程组以及不同模数的合并,满足条件是模数互质
一般运用就是给出类似以下形式的柿子然后解方程组

\[ \left\{ \begin{aligned} x \equiv\ a_1\mod\ m_1 \\ x \equiv\ a_2\mod\ m_2 \\ x \equiv\ a_3\mod\ m_3 \\ \end{aligned} \right. \]

关于解这个方程组的过程就口胡一下
首先我们设出\(n_1,n_2,n_3\),然后得到了一下方程组

\[ \left\{ \begin{aligned} n_1 \equiv\ a_1\mod\ m_1 \\ n_2 \equiv\ a_2\mod\ m_2 \\ n_3 \equiv\ a_3\mod\ m_3 \\ \end{aligned} \right. \]

然后我们发现如果\(n_2\)是\(m_1\)的倍数，那么\(n_1+n_2\)在\(mod\ m_1\)的意义下是\(a_1\)
那么我们发现，如果\(n_1+n_2+n_3\)是一个可行解
则它们三个满足\(n_1\)是\(m_2\)和\(m_3\)的倍数，\(n_2\)是\(m_1\)和\(m_3\)的倍数，\(n_3\)是\(m_1\)和\(m_2\)的倍数。

那么我们可以构造一种可行解，得到满足上述条件的\(n_1,n_2,n_3\)并加和，就是我们想要的答案。

int crt(int x,int y){
	int ans=0;
	for(int i=0;i<3;++i){
		int t=mod/Pk[i];exgcd(t,Pk[i],x,y);
		(ans+=1ll*ys[i]*x%mod*t%mod)%=mod;
	}
	return (ans%mod+mod)%mod;
}	

\(exLucas\)

我们可以用\(CRT\)来处理模数不是质数时的组合数问题，但是需要保证每个质因子只出现一次。
如果在这个模数中一个质因子出现了多次，那么我们就需要\(exLucas\)来解决问题。

求一个组合数在模一个非质数下的答案
首先我们分解模数

\[P=\prod p_{i}^{c_i} \]

我们发现每个部分都是互质的，\(CRT\)合并即可

然后我们考虑计算单个组合数，即

\[C_{n}^{m} \mod\ p^c \]

组合数中可能含有\(p\)，所以我们把组合数展开并把\(p\)提出来，即

\[\frac{\frac{n!}{p^{c_1}}}{\frac{m!}{p^{c_2}}\times\frac{(n-m)!}{p^{c_3}}}\times p^{c_1-c_2-c_3} \]

接下来是第三步，算如下柿子

\[\frac{n!}{p^c}\ mod\ p^k \]

偷一个例子来
\(n=22,p=3,p^k=9\),将柿子展开后我们得到
\(22!=3^{7}\times7!\times(1\times2\times4\times5\times7\times8)\times(10\times11\times13\times14\times16\times17)\times(19\times20\times22)\)
因为\(3\)的倍数有\(7\)个，所以有\(7!\)。
发现第二个括号中的数和第一个括号在模\(9\)的意义下是一样的，所以我们合起来。
发现最后一个括号是\(22\%9\)的剩余部分。
最终柿子变成了\(22!=3^{7}\times7!\times(1\times2\times4\times5\times7\times8)^{2}\times(19\times20\times22)\)
第一部分快速幂，第二部分递归，第三部分和第四部分暴力枚举或预处理。

int Fac(int n,int p,int pk){
	if(!n) return 1;int ans=1;
	for(int i=1;i<pk;++i) if(i%p) ans=1ll*ans*i%pk;
	ans=qpow(ans,n/pk,pk);
	for(int i=1;i<=n%pk;++i) if(i%p) ans=1ll*ans*i%pk;
	return 1ll*ans*Fac(n/p,p,pk)%pk; 
}

然后我们回到组合数的处理上

int C(int x,int y,int p,int pk){
	if(x<y) return 0;
	int f1=Fac(x,p,pk),f2=Fac(y,p,pk),f3=Fac(x-y,p,pk),cnt=0;
	for(int i=x;i;i/=p) cnt+=i/p;
	for(int i=y;i;i/=p) cnt-=i/p;
	for(int i=x-y;i;i/=p) cnt-=i/p;
	return 1ll*f1*Inv(f2,pk)%pk*Inv(f3,pk)%pk*qpow(p,cnt,pk)%pk;
}

注意\(Inv\)可以用\(exgcd\)或者\(qpow\)求。
最后再用\(CRT\)合并即可。