Construct a tree[CodeForces - 1098C]
\(\mathcal{Description}\)
能否构造出一棵 \(n\) 个节点的树，使得以每个点为根的子树的大小加起来等于\(s\)，如果能，输出使得儿子最多的点的儿子数目最少的那种。
\(\mathcal{Solution}\)
边界：菊花是子树和最小的构造方法，链是子树和最大的构造方法，也就是说下界为\(2n-1\)上界为\(n(n+1)/2\)
对于儿子最多的点的儿子数最少，也即要求最小是几叉树，考虑对于\(k\)叉树，不难得出完全\(k\)叉树是使得子树和最小的构造方法，并且\(k+1\)叉树的子树和比\(k\)叉树的子树和下界更小，设\(n\)个结点的完全\(k\)叉树的子树和为\(v_k\)，如果\(s<v_k\)，那么得考虑\(k+1\)叉树，若\(s>=v_k\)，那就是可以构造出
贡献：每个结点对子树和的贡献是其祖先结点个数，也即它的深度
构造：确定好是\(k\)叉树的情况下，考虑先构造出一棵完全\(k\)叉树，此时可能还未达到要求的子树和，考虑不停地使其子树和增加，首先保证完全\(k\)叉树最左边的链不被破坏，将此时最下面一层的结点放到最左边的链下，增长其链长，这么做，最开始的结点深度仅加1，不会有太大的贡献，之后再将剩下的结点也如此做，最左边的链会越来越长，而每次增加链长对子树和的贡献也会越来越大，而如果不是增加链长，而是选择将其连在链上某点下，会发现结点深度会是从\(+1\)到\(+x\)的一个连续区间，当增加链长贡献超过剩余要求的子树和时，一定可以在链中选择某点，将其连在该点下刚好使得剩余要求的子树和为0
\(\mathcal{Code}\)
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 100005;
ll n, s, l, r, b;
ll d[maxn], cnt[maxn], sn[maxn];
ll get_mi (int k) //完全k叉树
{
ll t = n - 1, dep = 1, res = 1;
d[0] = 1, d[1] = k;
while (t > d[dep]) {
res += d[dep] * (dep + 1);
t -= d[dep++];
d[dep] = d[dep - 1] * k;
}
res += t * (dep + 1);
return res;
}
void solve (int k)
{
ll t = s - 1, dep = 1, dn = k;
cnt[d[1] = 1] = 1;
ll i = 2;
while (i <= n) {
++dep;
for (int j = 1; i <= n && j <= dn; ++i, ++j) ++cnt[d[i] = dep], t -= dep;
dn *= k;
}
i = n;
while (t) {
++dep;
if (cnt[d[i]] == 1) --i;
ll de = min(t, dep - d[i]);
--cnt[d[i]];
d[i] += de;
++cnt[d[i]];
t -= de;
--i;
}
}
int main ()
{
cin >> n >> s;
l = 2 * n - 1, r = (n + 1) * n / 2;
if (s < l || s > r) {
cout << "No" << endl;
return 0;
}
cout << "Yes" << endl;
for (int i = 2; i <= n - 1; ++i)
if (s >= get_mi(i)) {
b = i;
break;
}
solve(b);
sort(d + 1, d + n + 1);
int p = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
while (d[p] != d[i] - 1 || sn[p] == b) ++p;
cout << p << " ";
++sn[p];
}
return 0;
}
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