生成函数
一般生成函数(OGF)
引入
考虑一类组合对象组成的集合\(A\)，其中：
- 每个元素\(a\in A\)都被定义了“大小”\(|a|\)，它是一个非负整数。
- 对于给定的\(n\)，大小为\(n\)的元素的数量是有限的，记作\(A_n\)
eg. \(A\)是全体\(01\)串组成的集合，一个\(01\)串的大小被定义为它的长度则\(A_n=2^n\)
定义
\(A\left( x\right) =\sum ^{\infty }_{i=0}A_ix^{i}\)
为\(A\)的一般生成函数
注意
- \(A(x)\)为一个多项式
- 这里的\(A_i\)为第\(i\)项的 系数
这是一个形式幂级数，不用考虑何时收敛
这里的\(x^i\)为形式幂，无实义，一般也不会去求
但是\(x^i\)有区分实际意义的作用，即\(x^i\rightarrow\)第\(i\)项
\(x^i\)的系数为第\(i\)种状态的答案
这个不好说，举个例子
eg.
\(A\)是全体\(01\)串组成的集合，则
\(\begin{aligned}A\left( x\right) =\sum ^{\infty }_{i=0}2^{i}x^{i}\end{aligned}=\dfrac{1}{1-2x}\)
最后一步是用的等比数列求和公式，不用考虑何时收敛，所以认为其很大是趋近于0
其中\(A_i=2^i\)，表示长度为\(i\)的答案为\(2^i\)
\(x^i\)的系数就是长度为\(i\)的答案，它是用于区分这个的
运算
有两类组合对象\(A\)和\(B\)
- 定义\(C\)为\(A\)和\(B\)的并集
\(C(x) =A(x) +B(x)，O(n)\)计算 - 定义\(D\)为\(A\)和\(B\)的笛卡尔积，也即\(D\)中每个元素\(d\)都是\(A\)中某元素\(a\)与\(B\)中某元素\(b\)拼成的二元组\((a,b)\)，其大小\(|d|\) 定义为\(|a|+|b|\)
\(D(x) =A(x)B(x)\)，\(FFT\)乘法\(O(nlogn)\)计算
eg:
\(A\)是全体\(01\)串组成的集合，\(B\)是全体字母组成的集合
\(\begin{aligned}A\left( x\right) =\sum ^{\infty }_{i=0}2^{i}x^{i}\end{aligned}=\dfrac{1}{1-2x}\)
\(\begin{aligned}B\left( x\right) =\sum ^{\infty }_{i=0}26^{i}x^{i}\end{aligned}=\dfrac{1}{1-26x}\)
\(C(x)=A(x)+B(x)\)，\(C(x)\)表示全体\(01\)串与全体字母的并集
\(C(x)\)中\(x^i\)项的系数表示长度为\(i\)的\(01\)串与字符串有多少
\(D(x)=A(x)B(x)\)，\(D(x)\)表示\(01\)串与字符串拼接出的串（前面是\(01\)串，后面是字符串）
\(D(x)\)中\(x^i\)项的系数表示长度为\(i\)的拼接出的串有多少
其中某串长度可以为0
个人理解
我们发现上面的例题中的\(D\)如果我们不考虑多项式
自己暴力的去算，也有这样的公式
\(\begin{aligned}\sum_{i+j=n}a_ib_j\end{aligned}\)
其中\(a_i\)表示长度为\(i\)的\(01\)串有多少种，\(b_j\)表示长度为\(j\)的字符串有多少种
然后我们可以发现长度\(i+j\)的答案会由\(i\)与\(j\)项得到，再发现其与指数乘法有相似之处，即\(x^ix^j=x^{i+j}\)，之后就想到将答案存为其系数，\(x^i\)表示实际意义，于是就可以用多项式来解决问题，因为多项式可以\(FFT\)优化，比暴力快很多
(我觉得生成函数可能就是这么来的.....)
指数生成函数(EGF)
引入
有时我们需要考虑带标号的组合对象，比如图
\(n\)个点的标号图，顶点的标号恰好为\(1\sim n\)
带标号对象的拼接
将两个对象\(a;b\)拼接起来，\(|a|=n，|b|=m\)
- 无标号时，只有一种方法
- 带标号时，规定拼接时拼接对象内部相对标号顺序不变，而互相的标号
可以改变，则有\(C_{n+m}^{n}(\begin{pmatrix} n+m \\ n \end{pmatrix})\)种拼接方法
因为只要考虑前\(a\)中的\(n\)个用了哪些标号，剩下的\(m\)个给\(b\)中的\(m\)个，答案唯一，而对象内部相对标号顺序不变，所以得到的标号如何分配也是唯一的
eg.
将\(213,21\)(每个数字是一个标号)拼接，有\(10\)种方法
数字表示分配的标号
\(435,21|\ 425,31|\ 325,41|\ 324,51|\ 415,32\)
\(315,42|\ 314,52|\ 215,43|\ 214,53|\ 213,54\)
如第一种方案\(435\)对应的\(231\)相对标号顺序不变，\(31\)对应的\(21\)相对标号顺序也不变
定义
对于带标号组合对象组成的集合\(A\)，定义
\(\begin{aligned}A\left( x\right) =\sum _{i= 0}^nA_{i}\dfrac {x^{i}}{i!}\end{aligned}\)
为\(A\)的指数生成函数
运算
有两类组合对象\(A\)和\(B\)
- 定义\(C\)为\(A\)和\(B\)的并集
\(C(x) =A(x) +B(x)，O(n)\)计算 - 定义\(D\)为\(A\)和\(B\)的笛卡尔积，也即\(D\)中每个元素\(d\)都是\(A\)中某元素\(a\)与\(B\)中某元素\(b\)拼成的二元组\((a,b)\)，其大小\(|d|\) 定义为\(|a|+|b|\)
\(D(x) =A(x)B(x)\)，\(FFT\)乘法\(O(nlogn)\)计算
没错，就是复制上面的内容
对于\(D(x)\)
\(\begin{aligned}D(x)=\sum _{i+j=n}A_{i}B_{j}\dfrac {\left( i+j\right) !}{i!j!}\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}\dfrac {D(x)}{n!}=\sum _{i+j=n}\dfrac {Ai}{i!}\dfrac {B_{j}}{j!}\end{aligned}\)
所以乘法运算成立
个人理解
如引入中的问题
用一般生成函数来求解
\(\begin{aligned}D\left( x\right) =A\left( x\right) B\left( x\right) =\sum ^{n}_{i+j=n}A_{i}\cdot B_{j}\begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix}\end{aligned}\)
最后又化简成
\(\begin{aligned}\dfrac {D(x)}{n!}=\sum _{i+j=n}\dfrac {Ai}{i!}\dfrac {B_{j}}{j!}\end{aligned}\)
于是我们就弄出一个指数生成函数方便运算且省去求组合数
以下\(A\)为生成函数
生成序列(seq)
如字面意思，要生成一个序列
序列的顺序是确定的
\(\begin{aligned}seq\left( A\right) =\sum ^{\infty }_{i=0}Ai=\dfrac {1}{1-A}\end{aligned}\)
生成集合(set)
如字面意思，要生成一个集合
集合的顺序是无关紧要的，所以要除以全排列
\(\begin{aligned}set\left( A\right) =\sum ^{\infty }_{i=0}\dfrac{A^i}{i!}=e^A\end{aligned}\)
最后一步是因为该式子符合\(e^x\)的泰勒展开
关于泰勒展开可看我的该篇博客泰勒公式于牛顿迭代
如有哪里讲得不是很明白或是有错误，欢迎指正
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