斐波那契相关
前言
考试的时候考了到斐波那契的题，于是咱自己推了一些好玩的东西，后来又听dalao讲了些感觉挺有用的东西
通项公式
\(f_0=0\ \ \ f_1=1\ \ \ \ f_2=1\ \\ f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\)
我们对它的系数动点手脚
\(f_n=f_2 f_{n-1}+f_1 f_{n-2}\)
再将其迭代一下
\(\begin{aligned}f_{n} &= f_{2}\left( f_{n-2}+f_{n-3}\right) +f_{1}f_{n-2}\\
&=\left( f_{1}+f_{2}\right) f_{n-2}+f_{2}f_{n-3}\\
&=f_{3}f_{n-2}+f_{2}f_{n-3}\end{aligned}\)
如此迭代，我们发现，这个系数也是一个斐波那契数列
所以可以得到
\(f_{n}=f_{n-k+1}f_{k}+f_{n-k}f_{k-1}\)
负项数
有时候总想，要是斐波那契有负数项就好了
虽然是负数项，我们仍然要使其满足
\(f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\)
考虑逆推
\(f_{n-2}=f_n-f_{n-1}\)
则\(f_{-1}=f_1-f_0=1\)
\(f_{-2}=f_0-f_{-1}=-1\)
可以看出，每次往负数推都是由一个正数减一个负数，或者一个负数减一个正数
那么其每一项的绝对值是不会改变的，并且奇数项都是正的，偶数项都是负的
则我们可以得到这样的递推式
\(f_{-n}=\left( -1\right) ^{n+1}\cdot f_n(n>0)\)
有趣的东西
-
\(gcd(f_{i+1},f_{i})=1\)
证明
利用更相减损法
\(gcd(f_{i+1},f_{i})=gcd(f_{i+1}-f_i,f_i)=gcd(f_{i-1},f_i)=gcd(f_i,f_{i-1})=\cdots=gcd(f_1,f_2)=1\) -
\(f_i\ |\ f_j \Leftrightarrow i\ |\ j\)
当然，\(f_1,f_2\)是特殊情况 -
\(gcd(f_{n+m},f_n)=gcd(f_n,f_m)\)
-
\(f^{2}_{n}+f^{2}_{n-1}=f_{2n-1}\)
这个就是用上面的那个递推公式，令\(n=2k-1\)得到的 -
然后咱在打表的情况下又发现个好玩的
\(f_{n-1}^4≡1(mod)f_n\)
这个是打表的，证明我不会，这是特意写的4次幂
2次幂要分情况
\(f_{n-1}^2≡-1\)\((f_n-1)\)\((mod)f_n\)(n为奇数)
\(f_{n-1}^2≡1(mod)f_n\)(n为偶数) -
\((f_n-1)^2≡1(mod)f_n\)
这个并不是只有斐波那契数列才满足
对于所有自然数\(x\)都有\(x^2≡1(mod)(x+1)\)
证明
\(x^2+x≡0(mod)(x+1) \\ x^2≡-x(mod)(x+1) \\ x^2≡1(mod)(x+1)\) -
\(f_{k−1}^2+f_{k−1}f_k−f_k^2=(−1)^k\)
这个是dalao教的，蒟蒻不会证明 -
另外，在打表时发现这么一个规律，分了太多情况，这里就不一一赘述了
想要具体知道的话可以去自己打表试试
当n为奇数
\(x\in[1,n-1]\)- \(f_x\cdot f_{n-1}≡f_{n-x}(mod)f_n\)(x为奇数)
- \(\begin{aligned}f_x\cdot f_{n-1}≡f_n-\sum_{i=1且为奇数}^{n-x}f_i\end{aligned}\)(x为偶数)
当n为偶数时也有类似的公式
并且好像将\(n-1\)变小都有类似的公式.... -
\(f_{n+2}=1+\sum_{i=1}^{n}f_i\)
没有为什么，打表
下面附上打的表
f[0]=0
f[1]=1 f[2]=1 f[3]=2 f[4]=3 f[5]=5
f[6]=8 f[7]=13 f[8]=21 f[9]=34 f[10]=55
f[11]=89 f[12]=144 f[13]=233 f[14]=377 f[15]=610
f[16]=987 f[17]=1597 f[18]=2584 f[19]=4181 f[20]=6765
f[21]=10946 f[22]=17711 f[23]=28657 f[24]=46368 f[25]=75025
//n为奇数
f[2 ]*f[2 ] mod f[3 ]=1
f[1 ]*f[2 ] mod f[3 ]=1
f[4 ]*f[4 ] mod f[5 ]=4
f[3 ]*f[4 ] mod f[5 ]=1
f[2 ]*f[4 ] mod f[5 ]=3
f[1 ]*f[4 ] mod f[5 ]=3
f[6 ]*f[6 ] mod f[7 ]=12
f[5 ]*f[6 ] mod f[7 ]=1
f[4 ]*f[6 ] mod f[7 ]=11
f[3 ]*f[6 ] mod f[7 ]=3
f[2 ]*f[6 ] mod f[7 ]=8
f[1 ]*f[6 ] mod f[7 ]=8
f[8 ]*f[8 ] mod f[9 ]=33
f[7 ]*f[8 ] mod f[9 ]=1
f[6 ]*f[8 ] mod f[9 ]=32
f[5 ]*f[8 ] mod f[9 ]=3
f[4 ]*f[8 ] mod f[9 ]=29
f[3 ]*f[8 ] mod f[9 ]=8
f[2 ]*f[8 ] mod f[9 ]=21
f[1 ]*f[8 ] mod f[9 ]=21
f[10]*f[10] mod f[11]=88
f[9 ]*f[10] mod f[11]=1
f[8 ]*f[10] mod f[11]=87
f[7 ]*f[10] mod f[11]=3
f[6 ]*f[10] mod f[11]=84
f[5 ]*f[10] mod f[11]=8
f[4 ]*f[10] mod f[11]=76
f[3 ]*f[10] mod f[11]=21
f[2 ]*f[10] mod f[11]=55
f[1 ]*f[10] mod f[11]=55
f[12]*f[12] mod f[13]=232
f[11]*f[12] mod f[13]=1
f[10]*f[12] mod f[13]=231
f[9 ]*f[12] mod f[13]=3
f[8 ]*f[12] mod f[13]=228
f[7 ]*f[12] mod f[13]=8
f[6 ]*f[12] mod f[13]=220
f[5 ]*f[12] mod f[13]=21
f[4 ]*f[12] mod f[13]=199
f[3 ]*f[12] mod f[13]=55
f[2 ]*f[12] mod f[13]=144
f[1 ]*f[12] mod f[13]=144
f[14]*f[14] mod f[15]=609
f[13]*f[14] mod f[15]=1
f[12]*f[14] mod f[15]=608
f[11]*f[14] mod f[15]=3
f[10]*f[14] mod f[15]=605
f[9 ]*f[14] mod f[15]=8
f[8 ]*f[14] mod f[15]=597
f[7 ]*f[14] mod f[15]=21
f[6 ]*f[14] mod f[15]=576
f[5 ]*f[14] mod f[15]=55
f[4 ]*f[14] mod f[15]=521
f[3 ]*f[14] mod f[15]=144
f[2 ]*f[14] mod f[15]=377
f[1 ]*f[14] mod f[15]=377
f[16]*f[16] mod f[17]=1596
f[15]*f[16] mod f[17]=1
f[14]*f[16] mod f[17]=1595
f[13]*f[16] mod f[17]=3
f[12]*f[16] mod f[17]=1592
f[11]*f[16] mod f[17]=8
f[10]*f[16] mod f[17]=1584
f[9 ]*f[16] mod f[17]=21
f[8 ]*f[16] mod f[17]=1563
f[7 ]*f[16] mod f[17]=55
f[6 ]*f[16] mod f[17]=1508
f[5 ]*f[16] mod f[17]=144
f[4 ]*f[16] mod f[17]=1364
f[3 ]*f[16] mod f[17]=377
f[2 ]*f[16] mod f[17]=987
f[1 ]*f[16] mod f[17]=987
f[18]*f[18] mod f[19]=4180
f[17]*f[18] mod f[19]=1
f[16]*f[18] mod f[19]=4179
f[15]*f[18] mod f[19]=3
f[14]*f[18] mod f[19]=4176
f[13]*f[18] mod f[19]=8
f[12]*f[18] mod f[19]=4168
f[11]*f[18] mod f[19]=21
f[10]*f[18] mod f[19]=4147
f[9 ]*f[18] mod f[19]=55
f[8 ]*f[18] mod f[19]=4092
f[7 ]*f[18] mod f[19]=144
f[6 ]*f[18] mod f[19]=3948
f[5 ]*f[18] mod f[19]=377
f[4 ]*f[18] mod f[19]=3571
f[3 ]*f[18] mod f[19]=987
f[2 ]*f[18] mod f[19]=2584
f[1 ]*f[18] mod f[19]=2584
//偶数情况
f[1 ]*f[0 ] mod f[2 ]=0
f[3 ]*f[2 ] mod f[4 ]=2
f[2 ]*f[2 ] mod f[4 ]=1
f[1 ]*f[2 ] mod f[4 ]=1
f[5 ]*f[4 ] mod f[6 ]=7
f[4 ]*f[4 ] mod f[6 ]=1
f[3 ]*f[4 ] mod f[6 ]=6
f[2 ]*f[4 ] mod f[6 ]=3
f[1 ]*f[4 ] mod f[6 ]=3
f[7 ]*f[6 ] mod f[8 ]=20
f[6 ]*f[6 ] mod f[8 ]=1
f[5 ]*f[6 ] mod f[8 ]=19
f[4 ]*f[6 ] mod f[8 ]=3
f[3 ]*f[6 ] mod f[8 ]=16
f[2 ]*f[6 ] mod f[8 ]=8
f[1 ]*f[6 ] mod f[8 ]=8
f[9 ]*f[8 ] mod f[10]=54
f[8 ]*f[8 ] mod f[10]=1
f[7 ]*f[8 ] mod f[10]=53
f[6 ]*f[8 ] mod f[10]=3
f[5 ]*f[8 ] mod f[10]=50
f[4 ]*f[8 ] mod f[10]=8
f[3 ]*f[8 ] mod f[10]=42
f[2 ]*f[8 ] mod f[10]=21
f[1 ]*f[8 ] mod f[10]=21
f[11]*f[10] mod f[12]=143
f[10]*f[10] mod f[12]=1
f[9 ]*f[10] mod f[12]=142
f[8 ]*f[10] mod f[12]=3
f[7 ]*f[10] mod f[12]=139
f[6 ]*f[10] mod f[12]=8
f[5 ]*f[10] mod f[12]=131
f[4 ]*f[10] mod f[12]=21
f[3 ]*f[10] mod f[12]=110
f[2 ]*f[10] mod f[12]=55
f[1 ]*f[10] mod f[12]=55
f[13]*f[12] mod f[14]=376
f[12]*f[12] mod f[14]=1
f[11]*f[12] mod f[14]=375
f[10]*f[12] mod f[14]=3
f[9 ]*f[12] mod f[14]=372
f[8 ]*f[12] mod f[14]=8
f[7 ]*f[12] mod f[14]=364
f[6 ]*f[12] mod f[14]=21
f[5 ]*f[12] mod f[14]=343
f[4 ]*f[12] mod f[14]=55
f[3 ]*f[12] mod f[14]=288
f[2 ]*f[12] mod f[14]=144
f[1 ]*f[12] mod f[14]=144
f[15]*f[14] mod f[16]=986
f[14]*f[14] mod f[16]=1
f[13]*f[14] mod f[16]=985
f[12]*f[14] mod f[16]=3
f[11]*f[14] mod f[16]=982
f[10]*f[14] mod f[16]=8
f[9 ]*f[14] mod f[16]=974
f[8 ]*f[14] mod f[16]=21
f[7 ]*f[14] mod f[16]=953
f[6 ]*f[14] mod f[16]=55
f[5 ]*f[14] mod f[16]=898
f[4 ]*f[14] mod f[16]=144
f[3 ]*f[14] mod f[16]=754
f[2 ]*f[14] mod f[16]=377
f[1 ]*f[14] mod f[16]=377
f[17]*f[16] mod f[18]=2583
f[16]*f[16] mod f[18]=1
f[15]*f[16] mod f[18]=2582
f[14]*f[16] mod f[18]=3
f[13]*f[16] mod f[18]=2579
f[12]*f[16] mod f[18]=8
f[11]*f[16] mod f[18]=2571
f[10]*f[16] mod f[18]=21
f[9 ]*f[16] mod f[18]=2550
f[8 ]*f[16] mod f[18]=55
f[7 ]*f[16] mod f[18]=2495
f[6 ]*f[16] mod f[18]=144
f[5 ]*f[16] mod f[18]=2351
f[4 ]*f[16] mod f[18]=377
f[3 ]*f[16] mod f[18]=1974
f[2 ]*f[16] mod f[18]=987
f[1 ]*f[16] mod f[18]=987
f[19]*f[18] mod f[20]=6764
f[18]*f[18] mod f[20]=1
f[17]*f[18] mod f[20]=6763
f[16]*f[18] mod f[20]=3
f[15]*f[18] mod f[20]=6760
f[14]*f[18] mod f[20]=8
f[13]*f[18] mod f[20]=6752
f[12]*f[18] mod f[20]=21
f[11]*f[18] mod f[20]=6731
f[10]*f[18] mod f[20]=55
f[9 ]*f[18] mod f[20]=6676
f[8 ]*f[18] mod f[20]=144
f[7 ]*f[18] mod f[20]=6532
f[6 ]*f[18] mod f[20]=377
f[5 ]*f[18] mod f[20]=6155
f[4 ]*f[18] mod f[20]=987
f[3 ]*f[18] mod f[20]=5168
f[2 ]*f[18] mod f[20]=2584
f[1 ]*f[18] mod f[20]=2584
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