树的直径与树的重心
参考：oi-wiki
树的直径
图中所有最短路径的最大值即为「直径」，可以用两次 DFS 或者树形 DP 的方法在 O(n) 时间求出树的直径
做法1：两次 DFS
首先对任意一个结点做 DFS 求出最远的结点，然后以这个结点为根结点再做 DFS 到达另一个最远结点。第一次 DFS 到达的结点可以证明一定是这个图的直径的一端，第二次 DFS 就会达到另一端。这两端间的距离就是树的直径。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e7 + 10;
inline int read() {
int x = 0, k = 1; char ch = getchar();
for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') k = -1;
for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';
return x * k;
}
int head[maxn], cnt, n;
int maxdis, maxpos;
struct node{
int to, nxt, val;
}e[maxn];
inline void add(int u, int v, int w) {
e[++cnt].to = v;
e[cnt].val = w;
e[cnt].nxt = head[u];
head[u] = cnt;
}
//x：dfs的源点，fa：x点的父亲节点，dis：x到源点的距离
inline void dfs(int x, int fa, int dis) {
if (maxdis < dis) {
maxdis = dis;
maxpos = x;
}
for (int i = head[x]; i; i = e[i].nxt) {
if (e[i].to == fa) continue; //父亲节点已经访问过，防止重复遍历
dfs(e[i].to, x, dis + e[i].val);
}
}
int main() {
n = read();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
register int u, v, w;
u = read(); v = read(); w = read();
add(u, v, w); add(v, u, w);
}
dfs(1, -1, 0); //从结点1开始遍历，找到最远点maxpos及对应的最远距离maxdis
maxdis = 0;
dfs(maxpos, -1, 0); //从结点maxpos开始遍历，找到最远点及其对应的maxdis
printf("%d\n", maxdis);
return 0;
}
做法2：树形DP
我们记录每个节点向下，所能延伸的最远距离 dis1，和次远距离 dis2，那么直径就是所有 dis1 + dis2 的最大值。
注意：以下代码没有考虑多重输入，如要在 HDU 提交，记得修改输入部分并且注意初始化
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e7 + 10;
inline int read() {
int x = 0, k = 1; char ch = getchar();
for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') k = -1;
for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';
return x * k;
}
struct node{
int to, nxt, val;
}e[maxn];
int head[maxn], dis[maxn][3], maxson[maxn], vis[maxn], n, cnt;
inline void add(int u, int v, int w) {
e[++cnt].to = v;
e[cnt].nxt = head[u];
e[cnt].val = w;
head[u] = cnt;
}
inline void dfs1(int u) {
vis[u] = 1;
dis[u][0] = dis[u][1] = 0;
for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {
int v = e[i].to, w = e[i].val;
if (vis[v]) continue;
dfs1(v);
int dist = dis[v][0] + w;
if (dist >= dis[u][0]) {
dis[u][1] = dis[u][0]; dis[u][0] = dist;
maxson[u] = v;
}
else if (dist > dis[u][1])
dis[u][1] = dist;
}
}
inline void dfs2(int u) {
vis[u] = 1;
for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {
int v = e[i].to, w = e[i].val;
if (vis[v]) continue;
if (v != maxson[u]) dis[v][2] = max(dis[u][0], dis[u][2]) + w;
else dis[v][2] = max(dis[u][1], dis[u][2]) + w;
dfs2(v);
}
}
int main() {
int u, v, w;
n = read();
for (int i = 2; i <= n; i++) {
v = read(); w = read();
add(i, v, w); add(v, i, w);
}
dfs1(1);
memset(vis, 0, sizeof(vis));
dfs2(1);
for (int i = 1; i <= n; i++)
printf("%d\n", max(dis[i][0], dis[i][2]));
return 0;
}
树的重心
定义
- 对于树上的每一个点，计算其所有子树中最大的子树节点数，这个值最小的点就是这棵树的重心（这里以及下文中的“子树”都是指无根树的子树，即包括“向上”的那棵子树，并且不包括整棵树自身）
性质
-
以树的重心为根时，所有子树的大小都不超过整棵树大小的一半。
-
树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么到它们的距离和一样。
-
把两棵树通过一条边相连得到一棵新的树，那么新的树的重心在连接原来两棵树的重心的路径上。
-
在一棵树上添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。
求法
- 在 DFS 中计算每个子树的大小，记录“向下”的子树的最大大小，利用总点数 - 当前子树（这里的子树指有根树的子树）的大小得到“向上”的子树的大小，然后就可以依据定义找到重心了。
参考代码
// 这份代码默认节点编号从 1 开始，即 i ∈ [1,n]
int size[MAXN], // 这个节点的“大小”（所有子树上节点数 + 该节点）
weight[MAXN], // 这个节点的“重量”
centroid[2]; // 用于记录树的重心（存的是节点编号）
void GetCentroid(int cur, int fa) { // cur 表示当前节点 (current)
size[cur] = 1;
weight[cur] = 0;
for (int i = head[cur]; i != -1; i = e[i].nxt) {
if (e[i].to != fa) { // e[i].to 表示这条有向边所通向的节点。
GetCentroid(e[i].to, cur);
size[cur] += size[e[i].to];
weight[cur] = max(weight[cur], size[e[i].to]);
}
}
weight[cur] = max(weight[cur], n - size[cur]);
if (weight[cur] <= n / 2) { // 依照树的重心的定义统计
centroid[centroid[0] != 0] = cur;
}
}
