dp 小练

选一些 dp 题做一做。随便写一些总结，DP 的具体过程和实现很简略，重在逻辑链的推导。代码可以去原题解下学习。

随缘更新。未完结。

~~upd：开始杂题训练，停更。~~

再 upd：开始 whk 了，彻底停更了 /kk。

[HAOI2011] Problem a

考虑转化题意，求最多的说真话的人。

注意到如果有 $a_{i}$ 个人比 $i$ 低，有 $b_{i}$ 个人比 $i$ 高，说明 $i$ 的成绩排名 $\in [a_{i} + 1, n - b_{i}]$ 。

将区间视作一条线段，然后把 $[l, r]$ 相同的线段合并，给 $[l, r]$ 这条线段赋权。本题就转化为了最大线段带权覆盖问题。dp + std::map 可以 $O (n \log n)$ 地解决这个问题。

小陷阱：如果有超过 $r - l + 1$ 个人的成绩排名 $\in [l, r]$ ，那么 $[l, r]$ 的权值为 $r - l + 1$ ，dp 的时候取 min 判断一下就好了。

[CF605E] Intergalaxy Trips

厉害的题目，体现了遇到思维瓶颈时尝试筛除无用状态的思想。

设 $f_{i}$ 表示 $i \to n$ 的最小 无自环 步数。

注意到，对于边 $u \to v$ ，若 $f_{v} \geq f_{u}$ ，则无转移的必要，原因显然。

剩下的有效 $v$ 都满足 $f_{v} < f_{u}$ ，发现形似 Dijkstra，类似地推一下转移方程然后 $O (n^{2})$ 求解即可。

[AGC024E] Sequence Growing Hard

最直接的想法是往 $A_{i}$ 中加数变为 $A_{i + 1}$ ，但是这样会陷入绝境，无法进一步思考。

因为加数的情况太多，限制很复杂，遇到这种情况，考虑正难则反，删掉 $A_{i + 1}$ 中的数变为 $A_{i}$ 。

似乎这种正着做限制很强的题都可以反着做（？

然后考虑删掉 $k$ ，其中 $k$ 是连续一段相同数字的右端点，字典序变小的充要条件是 $A_{i + 1, k} > A_{i + 1, k + 1}$ 。

这个限制很不错，适合 dp。

设 $f_{i, j}$ 表示前 $i$ 个序列，值域 $[1, j]$ 的方案数。

有：

f_{i, j} = \sum_{k = 1}^{i} \sum_{p = i - k + 1}^{i} (\binom{p - 1}{i - k}) \times f_{i - k, j} \times f_{k - 1, j - 1}

转移方程的含义可以来这里找。

然后预处理一下就可以 $O (n^{3})$ 了。

[AGC040E] Prefix Suffix Addition

一开始想直接把序列差分，属于是属于是了。

注意到加数不好搞，我们换成减数，方便思考。

然后你会发现这个前后缀是假的，我们可以任意操作一个子区间。

不太自然的一步：简化问题，考虑只有一个操作的时候怎么办，不妨设其为单调不降。

常见的思考模式：将原序列视作若干段单调不降区间，然后发现最小操作次数就是单调不降区间数，可以用贪心得出。

单调不升时同理。

对于一个序列，肯定有一部分是单调不降操作处理，另一部分使用单调不升，由此发现，我们可以把 $a_{i}$ 拆成 $x_{i}, y_{i} (x_{i} + y_{i} = a_{i})$ ，对 $x$ 序列用单调不降， $y$ 序列单调不升。

这一步感觉比较神仙。关键在于两个操作只和数的大小有关，彼此互不影响。

考虑 DP。设 $d p_{i, j}$ 表示 $a_{i}$ 拆成 $⟨ j, a_{i} - j ⟩$ 的最小操作次数。

转移方程：

d p_{i, j} = min_{k \in [0, a_{i - 1}]} {d p_{i - 1, k} + [j < k] + [j < k + a_{i} - a_{i - 1}]}

然后发现， $d p_{i, \dots}$ 至多有 $3$ 种取值，我们只需要取到每个值得最小的 $j$ 值。

每次根据 $a_{i} - a_{i - 1}$ 的正负进行转移即可。

[HNOI2012] 集合选数

学过 MO，发现这个东西直接做除了枚举别无他法。如果考虑图论计数会比较谔谔。

考虑一步神仙转化：构造一个和原命题等价的命题。

发现我们可以写出这样一个矩阵：

 1  2  4  8   16  32  ...
3  6  12 24  48  96  ...
9  18 36 72  ...
27 ...

原命题等价于，在这个矩阵中选若干数，且互不相邻的方案数。容易发现两者等价。但是正着构造确实难。

由于一行至多 $\log n$ 个数，直接状压 DP 计数即可。时间复杂度 $O ($ 能过 $)$ 。

[AGC002F] Leftmost Ball

一个序列合法，当且仅当任意一个前缀白球数量都不低于其它球的颜色种类，并且总共 $n$ 个白球，每种颜色 $k - 1$ 个。

直接做的上限感觉也就到 $O (n^{2} k^{2})$ ，而且基本没法优化。

考虑换一种思路，把一种颜色的球一次性放完，为了去重，我们钦定它放在从左往右第一个合法位置。

设 $d p (i, j) (j \leq i)$ 表示放了 $i$ 个白球和 $j$ 种其它颜色的球的方案数。

初始状态： $d p (i, 0) = 1$ 。

转移方程：

放白球： $d p (i, j) \leftarrow d p (i - 1, j)$ 。
放新颜色：钦定一个在最前面，剩下的随便放，即 $d p (i, j) \leftarrow d p (i, j - 1) \times (n - j + 1) \times (\binom{n \times k - (j - 1) \times (k - 1) - i - 1}{k - 2})$ 。