「洛谷P3768」简单的数学题 莫比乌斯反演+杜教筛

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简单的数学题

题目描述

输入一个整数n和一个整数p，你需要求出

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (i\cdot j\cdot gcd(i,j))\ mod\ p$$

其中$gcd(a,b)$表示$a$与$b$的最大公约数

输入

一行两个整数$p,n$

输出

一行一个整数，为题目中所求值

样例

样例输入

998244353 2000

样例输出

883968974

数据范围

$n\leq 10^{10}$
$5\times 10^8 \leq p \leq 1.1\times 10^9​$
$p​$为质数（但貌似也可以不是？又不用求逆元）

题解

自己想出来的题！但是连$WA$两发就是因为杜教筛写挂了……
先不考虑取余，我们化一下题目中的式子，枚举$gcd$（警告！多公式）。

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n i\cdot j\cdot gcd(i,j)$$

$$\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor}[i\perp j]i\cdot j \cdot d^2$$

$$\sum_{d=1}^{n}d^3\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor}[i\perp j]i\cdot j$$

$$\sum_{d=1}^{n}d^3\sum_{p=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor}\mu(p)p^2\cdot \Big(\frac{(1+\left\lfloor \frac{n}{dp}\right\rfloor)\left\lfloor \frac{n}{dp}\right\rfloor}{2}\Big)^2$$

额，现在可以使用分块优化做到$O(n)​$了，但是这完全不能胜任数据范围，我们换个角度，设$dp=T​$，枚举$T$会有什么结果？

$$\sum_{T=1}^{n}\Big(\frac{(1+\left\lfloor \frac{n}{T}\right\rfloor)\left\lfloor \frac{n}{T}\right\rfloor}{2}\Big)^2\sum_{d|T}d^3\cdot \mu(\frac{T}{d})(\frac{T}{d})^2$$

$$\sum_{T=1}^{n}\Big(\frac{(1+\left\lfloor \frac{n}{T}\right\rfloor)\left\lfloor \frac{n}{T}\right\rfloor}{2}\Big)^2 T^2\sum_{d|T}d\cdot \mu(\frac{T}{d})$$

现在好像反而变成$O(n\log n)$或$O(n\sqrt{n})$了，别急，我们看看第二层的求和的意义——狄利克雷卷积，这是$Id$函数与$\mu$函数的狄利克雷卷积，其值就等于$\varphi$。

$$\sum_{T=1}^{n}\Big(\frac{(1+\left\lfloor \frac{n}{T}\right\rfloor)\left\lfloor \frac{n}{T}\right\rfloor}{2}\Big)^2 T^2\varphi(T)$$

现在，我们只需要快速求出一个东西即可——$T^2\varphi(T)$，前面的部分可以分块优化，我们急需解决的就是这个函数$f(T)=T^2\varphi(T)$的前缀和$F(T)$。显然，这是一个积性函数。

杜教筛的公式：

$$\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}f(d)\cdot g(\frac{i}{d})=\sum_{i=1}^{n}g(i)\sum_{j=1}^{\left\lfloor \frac{n}{i}\right\rfloor}f(j)$$

于是我们需要一个函数与$f$卷起来，我们根据套路或枚举发现$T^2$项很恼人，于是尝试把这一项消掉，于是想到了$g(x)=x^2$。

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}d^2\varphi(d)\cdot (\frac{i}{d})^2=\sum_{i=1}^{n}i^2\sum_{j=1}^{\left\lfloor \frac{n}{i}\right\rfloor}f(j)$$

$$\sum_{i=1}^{n}i^2\sum_{d|i}\varphi(d)=\sum_{i=1}^{n}i^2F(\left\lfloor \frac{n}{i}\right\rfloor)​$$

根据公式$\sum_{d|i}\varphi(d)=i$，继续变形

$$\sum_{i=1}^{n}i^3=F(n)+\sum_{i=2}^{n}i^2F(\left\lfloor \frac{n}{i}\right\rfloor)$$

$$F(n)=\sum_{i=1}^{n}i^3-\sum_{i=2}^{n}i^2F(\left\lfloor \frac{n}{i}\right\rfloor)$$

由于$p(i)=i^3$和$q(i)=i^2$的前缀和都有公式，我们可以对右边进行分块优化，就可以杜教筛了！这道题圆满解决，时间复杂度$O(n^{\frac{2}{3}})$。

不过有些小细节要注意，比如模数乘$2$可能会爆$int$，$n^2$可能会爆$long\ long$，需要先取模再平方

$Code:$

#include <map>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 5000005
#define ll long long
map<ll, ll>Phi;
ll n, mod, g[N];
int p[N], h[N], phi[N], cnt;
ll sqr(ll x)
{
	ll a = 2 * x + 1, b = x + 1, c = x;
	if (b % 2 == 0)b /= 2;
	else c /= 2;
	if (a % 3 == 0)a /= 3;
	else
		if (b % 3 == 0)b /= 3;
		else c /= 3;
	a %= mod, b %= mod, c %= mod;
	return a * b % mod * c % mod;
}
ll seq(ll x)
{
	ll a = x + 1, b = x;
	if (a % 2 == 0)a /= 2;
	else b /= 2;
	a %= mod, b %= mod;
	return a * b % mod;
}
ll vas(ll x)
{
	ll a = seq(x);
	return a * a % mod;
}
ll G(ll x)
{
	if (x <= N - 5)
		return g[int(x)];
	if (Phi.find(x) != Phi.end())
		return Phi[x];
	ll ans = vas(x);
	ll lst = 1;
	for (ll i = 2; i <= x; i++)
	{
		i = x / (x / i);
		ll w = (sqr(i) - sqr(lst)) % mod;
		ans = (ans - w * G(x / i) % mod) % mod;
		lst = i;
	}
	if (ans < 0)
		ans += mod;
	Phi.insert(make_pair(x, ans));
	return ans;
}
ll Ans(ll x)
{
	ll ans = 0, lst = 0;
	for (ll i = 1; i <= x; i++)
	{
		i = x / (x / i);
		ll z = seq(x / i);
		z = z * z % mod;
		ans = (ans + z * (G(i) - G(lst)) % mod) % mod;
		lst = i;
	}
	if (ans < 0)
		ans += mod;
	return ans;
}
int main()
{
	phi[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= N - 5; i++)
	{
		if (!h[i])
		{
			phi[i] = i - 1;
			p[++cnt] = i;
		}
		for (int j = 1; j <= cnt; j++)
		{
			if (i * p[j] > N - 5)
				break;
			h[i * p[j]] = 1;
			if (i % p[j] == 0)
				phi[i * p[j]] = phi[i] * p[j];
			else
				phi[i * p[j]] = phi[i] * (p[j] - 1);
		}
	}
	cin >> mod >> n;
	for (int i = 1; i <= N - 5; i++)
		g[i] = (g[i - 1] + 1ll * phi[i] * i % mod * i % mod) % mod;
	cout << Ans(n) << '\n';
}