「模拟赛20180307」三元组 exclaim 枚举+树状数组

题目描述

给定 $n,k$ ，求有多少个三元组 $(a,b,c)$ 满足 $1≤a≤b≤c≤n$ 且 $a + b^2 ≡ c^3\ (mod\ k)$ 。

输入

多组数据，第一行数据组数 $T$ 。
每组数据两个整数， $n$ 和 $k$ 。

输出

$T$ 行，每行一个整数，表示满足条件的三元组的个数。

样例

样例输入

1
10 7

样例输出

27
//为什么老被和谐啊

数据范围

$1≤n,k≤10^5$
$T≤400$
时间限制 $4s$

题解

与其他学校互测，然后做题感觉很不友好……
这道题数据很有特点（哪里很有特点了）， $10^5$ 显然是一个象征性的数字，它意味着 $O(n\ log\ n)$ 是可以过的（这么大的 $T$ 被无视了啊）。
那么很自然的想到，这个式子并没有什么规律（我也很无奈啊），我们可以考虑枚举 $a,b,c$ 中的 $1$ 个。
但是我们选择哪一个比较好呢？容易想到，应该是 $c$ ，它的次数最高，不易计算。

接下来考虑一个简化的问题，如果不取余 $k$ ，该怎么办？
对于一个数 $b$ ，由于 $1≤a≤b$ ，显然 $c^3$ 只有在 $[b^2+1,b^2+b]$ 范围内才有解，而且是唯一解。
所以每一个 $b$ 可以为在 $[b^2+1,b^2+b]$ 的 $c^3$ 提供一个解，这不就是区间增加一个值吗？树状数组即可做到。

再考虑取余 $k$ 时，发现情况如出一辙，一样的做就可以了。唯一一个问题就是， $[b^2+1,b^2+b]$ 可能长度超过了 $k$ 。
这时能发现长度超过 $k$ 后完全覆盖了所有区域，任何一个 $c$ 都可以使用这个 $b$ ，我们只需要一个计数器 $count$ ，每次增加 $\left \lfloor\frac{b}{k}\right \rfloor$ 。

现在，这道题的解法就呼之欲出了。我们从小到大枚举 $c$ ，先在树状数组 $(tree)$ 中 $[c^2+1,c^2+c]$ 的区间加上 $1$ ，并更新 $count$ ，答案就等于 $tree[c^3\%k]+count$ 。时间复杂度为 $O(Tn\ log\ n)$ （再说一次请无视 $T$ 的大小）

$Code:$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 100005
#define ll long long
int T, n, mod;
ll ans, now, t[N];
void update(int x, int v)
{
    for (int i = x; i <= mod; i += i & -i)
        t[i] += v;
}
ll getsum(int x)
{
    ll ans = 0;
    for (int i = x; i; i -= i & -i)
        ans += t[i];
    return ans;
}
int main()
{
    freopen("exclaim.in", "r", stdin);
    freopen("exclaim.out", "w", stdout);
    scanf("%d", &T);
    for (int cas = 1; cas <= T; cas++)
    {
        scanf("%d%d", &n, &mod);
        ans = now = 0;
        memset(t, 0, sizeof(t));
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            int l =(1ll * i * i + 1)% mod + 1, r =(1ll * i * i + i)% mod + 1;
            if (l <= r)
                update(l, 1), update(r + 1, -1);
            else
                update(1, 1), update(r + 1, -1), update(l, 1);
            int c = 1ll * i * i % mod * i % mod;
            now +=(i - 1)/ mod;
            ans += getsum(c + 1) + now;
        }
        printf("Case %d: ", cas);
        cout << ans;
        putchar(10);
    }
}