【数论】欧拉函数

欧拉函数的定义：

$1\sim N$中与$N$互质的数的个数被称为欧拉函数，记作$\phi \left ( N \right )$

 在算数基本定理中，$N= p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_m^{a_m}$，则：

$\phi \left ( N \right ) = N\times \frac{p_1 - 1}{p_1} \times \frac {p_2-1}{p_2}\times ...\times \frac {p_m - 1}{p_m} $

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while(n--)
    {
        int x,res = 0;
        cin >> x;
        res = x;
        for(int i = 2;i <= x/i;++i)
        {
            if(x % i == 0)
               res = res / i * (i - 1);
            while(x % i == 0)
                x /= i;
        }
        if(x > 1)
            res = res / x * (x - 1);//先除再乘，避免溢出
        cout << res << endl;
    }
    return 0;
}

 

欧拉函数证明：

$N = 1=>\phi \left(N\right) = 1;$

$如果N是质数,则\phi \left(N\right) = N - 1; $ 

$如果N是质数p的k次方，即N = p^{k},则\phi \left(N\right) = p^{k} - p^{k-1} = p^{k}-(1-\frac{1}{p^{k}}),因为只有当一个数不包含质数p时，才与N互质，而包含p的数有1\times p,2\times p,...,p^{k - 1}\times p，共p^{k - 1}个，减去即可，其实上面就是k=1的特殊情况;$

$如果N可以分解成两个质数的乘积，即N=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}，则\phi \left(N\right) = \phi \left(p_1^{k_1}\right) \times \phi \left(p_2^{k_2}\right);$

$因此\phi \left (N\right) = \phi \left (p_1^{k_1}\right)\phi \left (p_2^{k_2}\right)...\phi \left (p_m^{k_m}\right) = p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_m^{k_m}(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2} )...(1-\frac{1}{p_m})=N(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2} )...(1-\frac{1}{p_m}).$

 

利用线性筛求欧拉函数：

$当一个数i是质数的时候，\phi \left (i\right) = i - 1;$

$对于prime[j] \times i而prime[j]不是i的一个质因数, prime[j]可以看作是prime[j] \times i多出来的一个1次方的质数，而\phi \left (i\right)是已知的，因此\phi \left (prime[j]\times i\right) = prime[j] \times \phi \left (i\right) \times (1 - \frac{1}{prime[j]} ) =\phi \left (i\right) \times (prime[j] - 1);$

$对于prime[j]是i的一个质因数，则\phi \left(prime[j] \times i \right) =prime[j] \times \phi \left (i\right)$

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1000009;
int prime[N],cnt,st[N];
int phi[N];
void euler(int n)
{
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2;i <= n;++i)
    {
        if(!st[i])
        {
            prime[cnt++] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for(int j = 0;prime[j] <= n/i;++j)
        {
            st[prime[j] * i] = 1;
            if(i % prime[j] == 0)
            {
                phi[prime[j] * i] = prime[j] * phi[i];
                break;
            }
            phi[prime[j] * i] = phi[i] * (prime[j] - 1);
        }
    }
    long long res = 0;
    for(int i = 1;i <= n;++i)
        res += phi[i];
    cout << res << endl;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    euler(n);
    return 0;
}