P5386 [Cnoi2019] 数字游戏
给出长度为 \(n\) 的排列 \(a_1\sim a_n\)，\(m\) 次询问有多少对 \([l,r]\) 满足 \(L\le l\le r\le R\) 且 \(\forall \,i\in [L,R],a_i\in[X,Y]\)。
\(n,m\le 2\times 10^5\)。
\(\text{3 s}\sim\text{7 s / 125 MB}\)。
下文中默认 \(\mathcal{O}(n)=\mathcal{O}(m)\)，分块以 \(\mathcal{O}(\sqrt{n})\) 为块长。
考虑对 \([X,Y]\) 这个限制莫队。设当前维护的值域区间是 \([x,y]\)，令 \(w_i=[x\le a_i\le y]\)。对于一个询问我们要求当 \(x,y\) 分别扫到 \(X,Y\) 时，\(w\) 数组的区间 \([L,R]\) 内有多少全部为 \(1\) 的子区间。
由于给出的是一个排列，\(x,y\) 移动一步时只会带来 \(w\) 数组一个位置的改变。相当于要支持单点 \(0\) 变 \(1\)（或 \(1\) 变 \(0\)），区间查询 \([L,R]\) 内有多少全部为 \(1\) 的子区间（简称为答案）。
考虑线段树，一个节点维护一下几个信息：
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\(\text{len}\)：代表这个节点对应的区间长度。
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\(\text{llen}\)：代表这个节点对应的区间中，以左端点开始的最长连续 \(1\) 段长度。
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\(\text{rlen}\)：代表这个节点对应的区间中，以右端点结束的最长连续 \(1\) 段长度。
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\(\text{sum}\)：代表这个节点对应的区间的答案。
合并两个节点 \(u,v\) 的信息时，都考虑该信息是否跨过中点。具体地，设 \(\otimes\) 为合并操作：
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\(\text{len}_{u\otimes v}=\text{len}_u+\text{len}_v\)
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\(\text{llen}_{u\otimes v}=\begin{cases}\text{len}_u+\text{llen}_v,\text{len}_u=\text{llen}_u\\\text{llen}_u,\text{otherwise}\end{cases}\)
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\(\text{rlen}_{u\otimes v}=\begin{cases}\text{len}_v+\text{rlen}_u,\text{len}_v=\text{rlen}_v\\\text{rlen}_v,\text{otherwise}\end{cases}\)
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\(\text{sum}_{u\otimes v}=\text{sum}_u+\text{sum}_v+\text{rlen}_u\cdot\text{llen}_v\)
容易支持单点修改。这样做时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n\sqrt{n}\log n)\)，空间复杂度为 \(\mathcal{O}(n)\)。不够优美。
原因是修改数量为 \(\mathcal{O}(n\sqrt{n})\)，而询问数量仅有 \(\mathcal{O}(n)\)。考虑换成 \(\mathcal{O}(1)\) 修改 \(\mathcal{O}(\sqrt{n})\) 查询的分块。
记：
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\(\text{bl}_i,\text{br}_i\) 为第 \(i\) 块的左右端点。
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\(\text{bel}_i\) 为 \(i\) 位置所在块。
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\(A_i\) 为第 \(i\) 块的信息。
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\(\text{pos}_i\) 的意义如下：若 \(i\) 是这个块中一个极长 \(1\) 连续段的端点，则 \(\text{pos}_i\) 的值为它所在极长 \(1\) 连续段的另一个端点；否则 \(\text{pos}_i=0\)。
考虑 \(w_i\) 由 \(0\) 变 \(1\) 怎么修改。考虑修改后极长 \(1\) 连续段的情况怎么变，显然它只可能接上修改前 \(i-1\) 所在极长 \(1\) 连续段和 \(i+1\) 所在极长 \(1\) 连续段。以此来处理 \(\text{pos}\) 数组的变化。注意不存在这两个位置或这两个位置与 \(i\) 不在同一块中的情况，具体可以看代码，个人认为讨论了所有可能的情况，虽然有一些繁杂。
处理好修改后 \(i\) 所在极长 \(1\) 连续段后，新增的答案就是这个段中包含 \(i\) 的子区间数量，是容易计算的。
至于 \(\text{llen}\) 和 \(\text{rlen}\) 的变化，容易通过修改后的 \(\text{pos}\) 数组求出。
但是发现 \(w_i\) 由 \(1\) 变 \(0\) 的情况不好处理，于是考虑回滚莫队，每次撤销最新的一次 \(0\) 变 \(1\) 回退上一个版本。用栈按时间顺序存储修改的量即可。
查询可以考虑从左往右遍历每个查询区间中的块（包括散块），散块暴力计算信息，整块就用维护好的 \(A_i\)，然后像上面那样合并。
处理询问时，对于左右端点在莫队中分出的块相同时，对于 \([X,Y]\) 这个值域，让指针 \(j\) 从 \(X\) 扫到 \(Y\) 暴力更新 \([X,j]\) 的信息。然后查询、撤销。单次时间复杂度为 \(\mathcal{O}(\sqrt{n})\)。
剩下的询问离线跑回滚莫队。每次做一段左端点在莫队中分出的块相同的询问。假设这一块的右端点为 \(R_0\)，我们只考虑撤销 \([X,R_0]\) 的操作，保留 \((R_0,Y]\) 的操作。这样对于排序后的每一个询问 \(i\)，可以先从上一个询问的 \((R_0,Y_{i-1}]\) 扩展到这个询问的 \((R_0,Y_i]\)，再添加 \([X,R_0]\) 的操作，再查询，再撤销这些操作回到 \((R_0,Y_i]\) 的版本，再继续做下一个询问。
做完一段左端点所在块相同的询问后，暴力清空分块。由于只会有 \(\mathcal{O}(\sqrt{n})\) 种左端点所在块，即这么多次清空，所以清空的总时间复杂度是 \(\mathcal{O}(n\sqrt{n})\)。
修改的和查询的总复杂度都是 \(\mathcal{O}(n\sqrt{n})\)。因此，回滚莫队的做法时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n\sqrt{n})\)，空间复杂度为 \(\mathcal{O}(n)\)。可以接受。
