P3712 少女与战车
P5356 由乃打扑克加强版。看了神仙 @5k_sync_closer 的题解发现 \(len\le 10\) 可以忽略，是不是爆标了！5k 好闪，拜谢 5k！
果然根号数据结构照样可爱。
给出 \(n\) 个点的有根树，定义一个点的深度为它到根简单路径上的边权和。有 \(m\) 次操作，每次询问子树内第 \(k\) 小的深度，或是讲某条边权值加 \(k\)。
\(n,m\le 10^5\)。
\(\text{3 s / 500 MB}\)。
设值域为 \(V\)。默认 \(\mathcal{O}(\log n)=\mathcal{O}(\log|V|)\)。
首先将子树拍平成 \(dfn\) 序，则问题就是区间加、查区间 \(k\) 小值。考虑分块，设块长为 \(B\)。
对于整块，维护初始数组 \(a\)、加标记 \(tag\) 以及排序后的数组 \(c\)。记 \(i\) 所在块为 \(bel_i\)，我们要实时维护 \(a_i+tag_{bel_i}\) 为 \(i\) 这个位置的真实值，且对于一个整块的下标区间 \([l,r]\)，\(c_l\sim c_r\) 为 \(a_l\sim a_r\) 排序后的结果。
修改时，整块修改标记、散块暴力重构。查询时，二分答案，然后求区间内有多少个小于等于它的数。
算法一
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修改时，暴力枚举整块标记加 \(k\)，暴力枚举散块使用
std::stable_sort重构散块。单次时间复杂度为 \(\mathcal{O}\left(B\log n+\dfrac{n}{B}\right)\)。 -
查询的二分答案时，设二分的值为 \(mid\)，散块暴力枚举，整块在排序的数组上二分最后一个真实值不超过 \(mid\) 的位置。然后块的起点到这个位置的数都要被统计。单次时间复杂度为 \(\mathcal{O}\left(\left(\dfrac{n}{B}\log n+B\right)\log n\right)\)。
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取 \(B=\mathcal{O}\left(\sqrt{n\log n}\right)\) 时，时间复杂度为 \(\mathcal{O}\left(n+m\sqrt{n\log n}\log n\right)\)。无法接受。
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空间复杂度为 \(\mathcal{O}(n)\)。
算法二
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修改时，整块仍然暴力标记加 \(k\)。考虑将散块的 \(c\) 数组对应的区间 \([l,r]\) 分成两个子序列：一个子序列内的原数下标不在本次修改的区间内，另一个则在。对于这两个子序列而言，它们都是单调非降的。可以归并排序。这样一来，单次时间复杂度变为 \(\mathcal{O}\left(B+\dfrac{n}{B}\right)\)。
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二分答案时，对于散块仍然采用类似的方式归并成一个长度为 \(\mathcal{O}(B)\) 的有序数组。不需要暴力枚举，直接在数组上二分。整块查询方式不变。这样查询时间复杂度为 \(\mathcal{O}\left(\left(\dfrac{n}{B}\log n+\log B\right)\log n\right)\)。
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取 \(B=\mathcal{O}\left(\sqrt{n}\log n\right)\) 时，时间复杂度为 \(\mathcal{O}\left(n+m\sqrt{n}\log n\right)\) 可以接受。
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空间复杂度为 \(\mathcal{O}(n)\)。
更多算法
P5356 题解区提到了时间复杂度 \(\mathcal{O}\left(n+m\sqrt{n\log n}\right)\)、\(\mathcal{O}\left(n+m\sqrt{n}\right)\)（好像有，可能是我看错了）的做法，空间复杂度不清楚。膜拜 DS 大神们，我这个数据结构萌新爬了。
