CF741E Arpa’s abnormal DNA and Mehrdad’s deep interest

感觉 $* 3400$ 虚高，但是第一眼不会做 /ng。太菜了。

给出两个字符串 $s, t$ ，记 $r_{i}$ 表示在 $s_{i}$ 和 $s_{i + 1}$ 插入 $t$ 得到的字符串。若 $i = 0$ 表示在开头插入，若 $i = | s |$ 表示在结尾插入。

形式化的， $r_{i} = \overset{―}{s_{1} \dots s_{i} t_{1} \dots t_{| t |} s_{i + 1} \dots s_{| s |}}$ 。

有 $q$ 次询问，每次询问给出 $l, r, k, x, y$ 。你需要求出满足 $i \in [l, r]$ 且 $i mod k \in [x, y]$ 的所有 $i$ 中， $r_{i}$ 字典序最小的 $i$ 。若有多个这样的 $i$ ，答案为最小的那个 $i$ 。或报告无解。

$| s |, | t |, q \leq 10^{5}$ 。

$2 s / 256 MB$ 。

本题做法大致由两个部分拼起来。

$P a r t 1$ 排序

考虑将所有二元组 $(r_{i}, i)$ 按照题目要求排序。先将 $s$ 和 $t$ 拼接成一个大串 $S$ 。容易发现任意一个 $r_{i}$ 就是 $S$ 的 $O (1)$ 个子串拼接起来。

考虑比较字符串大小的方法，找到 $LCP$ 然后比较下一位。那么我们就用 vector 存放一个字符串的所有段，用哈希进行字符串匹配，每次匹配到段端点。如果到段端点全部匹配，就进行下一段。否则比较失配位置的大小。

注意要多模，我使用了自然溢出和【】生日。

若两个字符串相同就比较 $i$ 的大小。然后将上述过程重载为小于号，使用 stable_sort 进行排序。

时间复杂度为 $O (| s | \log | s | \log (| s | + | t |))$ ，空间复杂度为 $O (| s | + | t |)$ 。

$P a r t 2$ 回答询问

做完 $Part 1$ 后，答案就是满足条件的 $i$ 中排序后排名最小的那个。所以只需要求排名的最小值。

看到带 $mod$ 的限制，考虑阈值分治。设阈值为 $B$ 。

$k > B$

我们令 $i = u k + v$ 。此时 $0 \leq u \leq \frac{| s |}{B}$ 。枚举 $u$ ，就可以得到满足条件的 $i$ 在 $O (\frac{| s |}{k})$ 个区间内。用 ST 表维护区间最小值，枚举这些区间进行查询。
$k \leq B$

我们考虑对于每个 $k$ 单独求解。此时 $0 \leq i mod k < k \leq B$ 。即只会有 $O (B)$ 种余数。再对于每种余数 $v$ ，将 $i mod k = v$ 的位置的排名按顺序放入一个数组，然后对这些数组维护 ST 表。容易得知对于某个特定的余数， $[l, r]$ 内的位置 $i$ 在新数组中的位置也是一个连续的区间。并且这些数组的总长度为 $O (| s |)$ 。因为每一种余数只会有 $O (\frac{| s |}{k})$ 个位置，乘以 $k$ 就是 $O (| s |)$ 。那么对于这些数组建立 ST 表的时间是 $O (| s | \log | s |)$ 。

然后遍历每一个询问，枚举 $[x, y]$ 中的每一个余数，此时枚举量为 $O (B)$ 。然后得到在 $[l, r]$ 内的 $i$ 在当前余数对应数组中的区间，查询区间最小值即可。