ABC339 题解

AK 了。

A - TLD

• 给出一个字符串 $s$，输出最后一个 . 后面的内容。

• $|s|\le 100$。

• $\text{2 sec / 1024 MB}$。

按照题意模拟即可，时空复杂度均为 $\mathcal{O}(|s|)$。

AC Code

B - Langton's Takahashi

• 给出 $H\times W$ 的网格。初始你在 $(1,1)$，方向朝上。一开始所有格子都是白色。设你当前在 $(x,y)$，$a_{x,y}$ 表示当前网格的颜色（$1$ 为黑，$0$ 为白）。网格上下边界、左右边界是循环联通的。

• 重复执行 $N$ 次：

  • 若 $a_{x,y}=0$，则 $a_{x,y}\leftarrow 1$，并将你的朝向顺时针转 $90°$。

  • 否则 $a_{x,y}\leftarrow 0$，并将你的朝向逆时针转 $90°$。

  • 向你的朝向往前走一步。

• 输出最后的网格。# 代表黑色，. 代表白色。

• $H,W\le 100$，$N\le 1000$。

• $\text{2 sec / 1024 MB}$。

按照题意模拟即可，处理每一种方向 $x,y$ 的增量，用取模实现旋转和循环。

时间复杂度为 $\mathcal{O}(HW+N)$，空间复杂度为 $\mathcal{O}(HW)$。

AC Code

C - Perfect Bus

• 有一辆车和 $n$ 个时刻。初始时刻车上人数未知。第 $i$ 个时刻车上新增 $a_i$ 个人。任意时刻车上的人数 $\ge 0$。求 $n$ 个时刻之后车上人数的最小可能值。

• $n\le 2\times {10}^5$。值域为 $V$，$|V|\le {10}^9$。

• $\text{2 sec / 1024 MB}$。

不难发现答案有单调性。二分答案，则可以计算出任意时刻车上的人数，判断是否 $\ge 0$ 即可。

时间复杂度为 $\mathcal{O}(n\log |V|)$，空间复杂度为 $\mathcal{O}(n)$。

AC Code

D - Synchronized Players

• 给出一个 $N\times N$ 的棋盘，有三种格子：

  • P：表示一个棋子。棋盘中有且仅有两个这样的格子，视为空地。

  • .：表示一个空地。

  • #：表示障碍物，不是空地。

• 每步你可以选择上、下、左、右中任意一个方向，对两个棋子执行：

  若某个棋子的当前方向上不存在格子或对应的格子不是空地，这个棋子不动。否则在这个方向上移动一格。

• 求让两棋子到达同一格子的最少步数，或判断无解。

• $N\le 60$。

• $\text{4 sec / 1024 MB}$。

BFS。状态设为第一个棋子的位置和第二个棋子的位置的二元组。每次按照题意扩展。根据队列内步数单调不降，最先满足两棋子位于同一格子的状态即为答案。

时空复杂度均为 $\mathcal{O}(N^4)$。

AC Code

E - Smooth Subsequence

• 给出一个序列 $A_1\sim A_n$，选出它的一个子序列，使得任意相邻两项差的绝对值不超过 $D$。

• $n\le 5\times {10}^5$。设值域为 $V$，$|V|\le 5\times {10}^5$。

• $\text{2 sec / 1024 MB}$。

考虑 dp。设 $f_i$ 为以 $i$ 结尾的最长子序列，有转移：

$$f_i=\underset{j<i\wedge |A_i-A_j|\le D}{max}{f}_j+1$$

然后用正序扫描维护 $j<i$，发现 $|A_i-A_j|\le D$ 等价于 $A_j\in [A_i-D,A_i]\bigcup [A_i+1,A_i+D]$，线段树维护之。

时间复杂度为 $\mathcal{O}(n\log |V|)$，空间复杂度为 $\mathcal{O}(n+|V|)$。

AC Code

F - Product Equality

• 给出 $n$ 个数 $A_1\sim A_n$，求三元组 $(i,j,k)$ 的个数，使得 $A_i\times A_j=A_k$。

• $n\le 1000$，$A_i\le {10}^{1000}$。

• $\text{2 sec / 1024 MB}$。

如果 $A_i$ 位数比较少，则可以枚举两维然后第三位桶维护。

考虑 $A_i$ 位数多的情况，两数相等的一个必要条件是，他们对任意模数后仍然相等。但是不充分。不过多项式哈希很难撞，多取几个模数就可以了。

这里运用到 $A_i\times A_j\equiv (A_{i}modp)\times (A_{j}modp)(modp)$。所以可以枚举两维然后算出哈希值，最后桶匹配计数。

默认取了 $\mathcal{O}(1)$ 个模数，时间复杂度为 $\mathcal{O}(n^2\log n)$，空间复杂度为 $\mathcal{O}(n)$。

AC Code

G - Smaller Sum

• 给出一个序列 $A_1\sim A_n$，$Q$ 次询问，每次求 $[l,r]$ 内不超过 $x$ 的数的和。强制在线。

• $n,Q\le 2\times {10}^5$，设值域为 $V$，$|V|\le {10}^9$。

• $\text{3.5 sec / 1024 MB}$。

其实就是求所有 $i\in [l,r]$，$a_i\in [0,x]$ 的 $a_i$ 之和。二维数点即可。因为强制在线所以主席树维护。

时间复杂度为 $\mathcal{O}(n+Q)\log |V|$，空间复杂度为 $\mathcal{O}(n\log |V|)$。

AC Code