P4143 采集矿石 题解

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• 给出字符串 $s$，以及数组 $a_1\sim a_{|s|}$。

• 定义一个子串的排名为：字典序比它大的本质不同的子串个数 $+1$。

• 定义一个子串 $s[l,r]$ 的权值为 $\sum _{i=l}^r{a}_i$。

• 求有多少个子串的排名等于权值。

• $|s|\le {10}^5,0\le a_i\le 1000$。

首先对 $s$ 进行后缀排序，然后考虑每一个左端点 $l$，不难发现随着右端点 $r$ 的增大，子串的排名单调递减，权值单调不降。

所以可以二分出满足条件的最小 / 大右端点。

考虑如何求出一个子串 $t$ 的排名。可以用本质不同子串数减去比它小的。

前半部分运用经典结论即为 $\sum _{i=1}^n(|s|-s{a}_i+1-{\text{height}}_i)$，我们考虑如何求比它小的本质不同子串数。

可以二分出以这个子串为前缀的后缀排名区间 $[L,R]$。答案即为排名为 $\mathbf{[}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathit{L}\mathbf{)}$ 的后缀带来的本质不同子串个数。

• 充分性：

  若一个子串 $str$ 在排名为 $[1,L)$ 的后缀中作为前缀出现，那么这个后缀 $s[i,|s|]$ 与 $s[l,|s|]$ 的 $\text{LCP}$ 长度一定小于 $\mathbf{|}\mathit{t}\mathbf{|}$。即两个后缀可以在第 $|t|$ 个位置之前可以找到不相同的位置。而由于 $s[i,|s|]$ 这个后缀排名更小，在这个位置一定 $s[i,|s|]$ 这个后缀小于 $s[l,|s|]$。

  考虑 $str$ 是否跨过这个位置，若不是，则在前 $|str|$ 位两串相同，第 $|str|+1$ 位 $str$ 为空，字典序极小。

  若跨过，则 $str$ 在这个位置小于 $t$。

• 必要性：

  考虑这两个子串第一次不同是在某个位置，这个位置一定在两个后缀中。

正确性证好了。这个东西也是考虑每个后缀带来的本质不同子串。即可以这么求：

$$\sum _{i=1}^{L-1}(|s|-s{a}_i+1-{\text{height}}_i)$$

于是做完了。时间复杂度为 $\mathcal{O}(|s|{\log }^2|s|)$，空间复杂度为 $\mathcal{O}(|s|)$。

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