CF1037H Security 做题记录

搬的学习笔记，之前没想过要新开一篇。

给出一个字符串 $s$ ，有 $q$ 次询问，第 $i$ 次询问给出 $l_{i}, r_{i}, t_{i}$ ，求一个字典序最小的字符串 $s t r$ ，使得它是 $s [l_{i}, r_{i}]$ 的子串，且 $s t r > t_{i}$ 。

$| s | \leq 10^{5}$ ， $\sum_{i = 1}^{q} | t_{i} |, q \leq 2 \times 10^{5}$ 。

记 $| LCP (s t r, t_{i}) | = l$ ， $s t r > t_{i}$ 当且仅当 $s t r_{l + 1} > t_{i_{l + 1}}$ ，为了使 $s t r$ 尽量小，我们希望 $l$ 尽量大。

证明很简单，假设有一个串 $T$ 满足 $LCP (T, t_{i}) = L < l$ ，则 $L C P (s t r, T) = L$ ，且 $T_{L + 1} > s t r_{L + 1}$ ，因此 $T > s t r$ ，所以 $| L C P |$ 大的字符串字典序更小。

先将 $s$ 和所有 $t_{i}$ 中间用奇怪字符拼接成大串 $S$ ，这样不改变任意两个后缀的 $LCP$ 。然后做一遍后缀排序，求出 $s a, r k, height$ 数组以及维护 ST 表辅助求后缀之间的 $| LCP |$ 。

对于每一组询问，考虑枚举 $l (0 \leq l \leq r_{i} - l_{i})$ 以及下一位拼上什么字符 $c$ ，满足 $c > t_{i_{l + 1}}$ （一定是仅拼上一个字符，因为空字符字典序最小）。可以先二分 + ST 表求出与 $t_{i}$ 在 $S$ 中的后缀的 $| LCP |$ 至少为 $l$ 的后缀排名区间 $[L, R]$ 。那么在 $LCP$ 末尾拼上一个字符 $c$ 后（记这个字符串为 $p$ ），以 $p$ 为前缀的后缀的排名仍然是一个连续的区间。由于后缀排序过，因此 $[L, R]$ 排名区间内的后缀的第 $l + 1$ 位的字符一定单调不减。

考虑继续二分出这个连续区间 $[q l, q r]$ ，可以二分找到最小的排名 $m n$ 使得 $S_{s a_{m n} + l} \geq c$ 以及最大的排名 $m x$ 使得 $S_{s a_{m x} + l} \leq c$ 。则 $q l = m n, q r = m x$ 。若不存在 $[q l, q r]$ 这个区间，则跳过。

我们要求 $s [l_{i}, r_{i}]$ 中是否存在一个子串 $s t r$ 以 $p$ 为前缀，相当于求 $s u f_{l_{i}} \sim s u f_{r_{i} - l}$ 这些后缀中，是否存在一个后缀 $s u f_{j}$ 使得 $q l \leq j \leq q r$ 。至此原问题转化成了二维数点，用主席树维护即可。

可以从小到大枚举 $c$ ，对于枚举的 $l$ ，我们找到一个最小的字符 $c$ 满足条件之后，即可停止当前 $l$ 的枚举。因为要求字典序最小。

对于多种 $l$ 的答案，上面已经说过，选最大的那一种。

默认 $| S |, q$ 同阶，时间复杂度为 $O (| Σ | \cdot (\sum_{i = 1}^{q} | t_{i} |) \log | S | + | S | \log^{2} | S |)$ ，空间复杂度为 $O (| S | \log | S |)$ 。由于不是瓶颈，后缀排序部分未使用基数排序优化。