P5311 [Ynoi2011] 成都七中

我永远喜欢数据结构。

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• 给出 $n$ 个点的树，点有颜色 $a_i$。有 $q$ 次询问，每次询问给出 $l,r,x$，求保留 $[l,r]$ 范围内的节点时，$x$ 所在联通块中有多少种本质不同的颜色。询问之间相互独立。

• 不保留一个点的定义是，将这个点以及与其相邻的边全部删除。

• $n,q\le {10}^5$。

• $1.00\text{s}/250.00\text{MB}$。

lxl 难得不卡常。

一句话题解：转化，离线。

记 $(l,r,x)$ 为一个询问，$S_{x,[l,r]}$ 为 $x$ 能够通过 $[l,r]$ 内的点走到的点的集合。询问本质上是对 $S_{x,[l,r]}$ 数颜色。

我们发现若 $y\in S_{x,[l,r]}$，则询问 $(l,r,x)$ 等价于 $(l,r,y)$。因为若 $x$ 能走到一个点 $u$，那么 $y$ 也可以通过 $x$ 到达点 $u$，反之亦然。其实就是此时 $S_{x,[l,r]}=S_{y,[l,r]}$。

考虑点分治，设当前分治重心为 $rt$。考虑对于当前子树内部一个点上未被处理的 $(l,r,x)$ 的询问，若 $rt\in S_{x,[l,r]}$，则可以考虑求解 $(l,r,rt)$ 的答案。

可以证明对于任意一个点一定存在一个这样的 $\mathit{r}\mathit{t}$。

注意到此时 ${\mathit{S}}_{\mathit{r}\mathit{t}\mathbf{,}\mathbf{[}\mathit{l}\mathbf{,}\mathit{r}\mathbf{]}}$ 中的点全部在当前子树中。
若不在，则 $x$ 一定和上层分治重心通过 $[l,r]$ 内的点联通，本层就不会再处理这个询问。

于是维护 $mx{e}_u$ 和 $mn{e}_u$ 表示 $u$ 到 $rt$ 的路径上最大 / 最小的点。那么对于一个颜色 $c$，它对这个答案有贡献，当且仅当存在一个点 $v$ 使得 $a_v=c$，且 $l\le mn{e}_v\le mx{e}_v\le r$。

这是个二维数点问题，考虑将所有询问和 $(mn{e}_v,mx{e}_v)$ 点对按照第一维从大到小排序，从大到小扫描。扫到一个询问时，上述条件可以转化为当前有多少种颜色的最小 $mx{e}_v$ 值不超过 $r$。用树状数组维护即可。

一个点在 $\mathcal{O}(\log n)$ 层分治中，每层扫到一次，单次复杂度为 $\mathcal{O}(n\log n)$。一个询问会在 $\mathcal{O}(\log n)$ 层分治中被扫到，仅会在一层分治中回答，复杂度为 $\mathcal{O}(\log n)$。

综上，时间复杂度为 $\mathcal{O}(n{\log }^{2}n+q\log n)$，空间复杂度为 $\mathcal{O}(n+q)$。

提交记录（$\text{Accepted}$ $\mathbf{100}$，$\mathbf{139}\mathbf{\text{ms}}\mathbf{/}\mathbf{16.94}\mathbf{\text{MB}}$） 代码