CF1045J Moonwalk challenge

这题怎么才 $\ast 2600$ 啊，我觉得有 $\ast 3000+$，太菜了 /ll。

明天期中考试了，来一个官方题解做法涨涨 rp，复杂度更劣还要离线，被爆了 /ll。题解区大佬说哈希狗都不写。

洛谷 CF

• 给出一棵 $n$ 个点的树，边上有字母。$q$ 次询问，每次给出一条路径 $u⇝v$ 和一个字符串 $s_i$，询问 $s_i$ 在 $u⇝v$ 的路径边上字母顺次拼接构成的字符串中出现了几次。

• $n,q\le {10}^5$，记 $S=\underset{i=1}{\overset{q}{max}}|s_i|$，$\mathit{S}\mathbf{\le }\mathbf{100}$。

看到这题，我的第一反应是 CF1608G Alphabetic Tree，两题难度虽然差的有点多，做法的相似之处也不是很大，但是都是十分恐怖的重工业题。

进入正题，我们发现询问串的长度很小，考虑分别处理每一种长度的询问，记当前正在处理的长度为 $len$。

先对树进行重链剖分、边转点，则路径由 $\mathcal{O}(\log n)$ 条重链组成。对于每一个询问，可以将字符串的出现位置分为完全在重链内以及跨越重链两类。

• 对于完全在重链内的位置：

• 先处理出每条重链自上而下以及自下而上的前缀哈希值，这样就可以求出重链内任意一条子路径、任意一种方向的哈希值。

• 求出每个点向上走 $len$ 条边，向上、向下的哈希值 $v{u}_i,v{d}_i$，并将它们离散化。对于每一种离散化值维护一个 std::vector 按顺序从小到大存放哈希值离散化后为该值的点的 $dfn$。

• 则跳链的时候，设当前的链底的点为 $x$，则问题可以变成：

  查询在区间 $[df{n}_{to{p}_x}+len-1,df{n}_x]$ 内，有多少点的权值为给定的值。

• 类似 P5838 一样，在 std::vector 上二分得到左右端点求区间长度即可。

• 若当前重链在 $u⇝\text{LCA}$ 的链上，则查询向上的哈希值，否则查询向下的哈希值。

• 对于跨越重链的位置：

• 在处理“完全在重链内的位置”时，用 std::vector 存下每一条重链的顶部、$dfn$ 区间和方向。

• 枚举起始的重链，则出现位置一定是起始重链长度为 $len$ 的后缀（若不足则全部选，下同），以及该重链结尾位置再往后走 $len$ 条边构成的字符串中（不然出现的起始位置要么没有跨越重链，要么不在起始重链内）。

• 暴力找出这条路径并记录其构成的字符串，进行哈希 / KMP 与询问串进行匹配。注意要保证跨越重链及起始位置在起始重链内。

做法大概就这样，好像也不是 too hard。接下来算复杂度。

• 输入以及重链剖分的预处理部分时间复杂度为 $\mathcal{O}(n+qS)$。

• 对于枚举 $len$，预处理每个点向上 / 向下的哈希值并离散化的部分，一个点计算一次时间复杂度为 $\mathcal{O}(\log n)$，要排序的元素一共有 $\mathcal{O}(nS+q)$ 个，总时间复杂度是 $\mathcal{O}((nS+q)\log (n+q))$。

• 对于一个询问，处理“完全在重链内”的位置的时间复杂度为 $\mathcal{O}({\log }^{2}n)$；处理“跨越重链的位置”时，枚举重链的时间复杂度为 $\mathcal{O}(\log n)$，找出路径以及字符串匹配的时间复杂度为 $\mathcal{O}(S)$。所以一次询问的时间复杂度为 $\mathcal{O}(\log n(\log n+S))$，总时间复杂度是 $\mathcal{O}(q\log n(\log n+S))$。

• 综上，该算法的时间复杂度为 $\mathcal{O}((nS+q)\log (n+q)+q\log n(\log n+S))$，常数有点大。配合 $6\text{ s}$ 的时限还算能够接受。精细实现后跑得很快。我人傻常数大。

• 空间复杂度显然为 $\mathcal{O}(n+q)$。

至此这题基本上解决了。完结撒花！

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